2022年衡阳市一中下学期高二第一次月考理科数学试题一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.）1．已知命题，则是（D）A．B．C．D．2．直线与椭圆的位置关系为（C）A.相离B.相切C.相交D.无法确定3．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（B）A．5B．8C．15D．204．已知命题，命题，则下列命题中的真命题为（C）A．B．C．D．5．不等式成立的一个必要不充分条件是（C）A．B．C．D．6．若椭圆的离心率为，则实数( A )A．B．C．D．8\n7．是椭圆上的动点，过点作椭圆长轴的垂线,垂足为点,则的中点的轨迹方程为( A )A．B．C．D．8．若点是椭圆上的一动点，是椭圆的两个焦点，则最小值为(B)A．B．C．D．9.椭圆内过点的弦恰好被点平分，则这条弦所在的直线方程是( D )A．B．C．D．10．在平面直角坐标系中，上的点的坐标分别为，若点在椭圆上，则( A )A.B.C.D.11．如图，焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为（A）A．B．C．D．8\n12．已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（B）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．“”是“”成立的____充分不必要______条件．14．已知点和，动点满足，则点的轨迹方程为________________．15．已知实数满足，则的最大值等于________________．16．已知函数，，，，使，则实数的取值范围为________．三．解答题（本大题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17.（本题10分）已知双曲线过点，且它的两条渐近线方程为．(1)求双曲线的方程；(2)写出它的顶点坐标，焦点坐标，并求离心率e．【解析】(1)根据题意，双曲线的两条渐近线方程为x±2y=0，设其方程为：x2−4y2=λ，(λ≠0)又由双曲线过点P(4,1)，有16−4=λ，解可得λ=12，双曲线的标准方程为：；(2)由(1)可得8\n，其顶点坐标为，焦点坐标为，离心率．18．（本题12分）已知命题表示双曲线，命题表示椭圆．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围及双曲线的焦距长；（2）判断命题为真命题是命题为真命题的什么条件．【解析】（1）∵命题表示双曲线为真命题，则，∴，∴双曲线的焦距长为．（2）∵命题表示椭圆为真命题，则，∴，∵集合是集合的真子集，∴是的必要不充分条件19.（本题12分）已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为，离心率，过右焦点的直线交椭圆于两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线的斜率为时，求的面积．8\n【解析】(1)由已知，椭圆方程可设为由题意，易得．∴所求椭圆方程为．(2)∵直线过椭圆右焦点F(1,0)，且斜率为，∴直线l的方程为y=x−1．设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立 ，得，解得．∴20．（本题12分）已知集合是函数的定义域，集合是不等式的解集，.（1）若，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.【解析】（1），．，则，解得,所以的取值范围是．（2）由（1）知．∵是的充分不必要条件，∴是的真子集，8\n即，解得，∴的取值范围是．21.（本题12分）过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点．(1)求的范围；(2)若，求直线的方程．【解析】(1)由椭圆方程有，设，点在椭圆上，又，(2)设两点的坐标为当垂直于轴时，,此时，不符题意即直线斜率必存在，设为，则直线方程为联立8\n解得故所求的直线方程为22．（本题12分）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相于两点，且.(1)求椭圆的方程；(2)若直线经过椭圆的左焦点与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，求面积的最大值.【解析】（1）由，得椭圆方程可化为联立得设，则由解得，所求椭圆方程为（2）由题意设直线方程为：，联立得8\n当且仅当时面积最大为8
