湖南省衡阳市第一中学2022-2022学年高二数学上学期第一次月考试题文一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）平面内有两个定点F1,F2和一动点M，设命题甲：MF1+MF2是定值，命题乙：点M的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（B）A．充分但不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件命题“若a=p，则tana=1”的逆否命题是（C）4A.若a≠p，则tana≠1B.若a=p，则tana≠1C.若tana≠1，则a≠p43.下列命题中的假命题是(CD.若tana≠1，则a=p)A．∃x0∈R，lgx0>0C．∀x∈R，x3>0B．∃x0∈R，tanx0＝1D．∀x∈R，2x>0444已知命题p：∃x∈æ0pö，sinx=2cosx，命题q：若a2＜b2，则a＜b，下ç，÷è2ø列命题为真命题的是（B）pÙq-94-\npÙØq-94-\nØpÙq-94-\nØpÚq解：命题p为真命题；当a=1，b=﹣2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故命题q为假命题，命题p∧￢q为真命题，故选：B．5.已知命题p:“∀x∈[1,2],-94-\nx2-a-94-\n≥0”,命题q:“-94-\n$x0ÎR,00x2+2ax+2-a=0-94-\n”.若命题“(p)∧q”是真命题,则实数a的取值范围是（A）A.a>1-94-\nB.a£2或1£a£2-94-\nC.a£-2或a=1-94-\nD.-2£a£1解析过程：本题主要考查命题真假的判断、逻辑联结词、全称命题与特称命题.因为∀x∈[1,2],x2－a≥0，所以p:，p：a＞1;因为∃x0∈R,＋2ax0＋2－a＝0，所以,则q：,因为命题“(p)∧q”是真命题,所以p与q均为真命题，则，所以a＞12若椭圆x35316-94-\ny2+=1过点（－2，3），则其焦距为（D）b25A.2-94-\nB.2-94-\n4-94-\n41如图，把椭圆x2+y2=的长轴AB分成8等份，过每个分点作1612x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F+P2F+P3F+P4F+P5F+P6F+P7F-94-\n=(B)3A.48B.28C.8D.32已知点p（4，3）在双曲线C:（C）-94-\nx-y2=12a2-94-\n上，则此双曲线的离心率是A.2B.255-94-\nC.5D.32222已知椭圆C:x+y42-94-\n=1，过点P(1，－1)作直线交椭圆于A，B两点，弦AB恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是(D)A．x+2y+1=0C．5x-3y-13=0-94-\nB．5x+3y+13=0D．x-2y-3=0在平面直角坐标系xOy中，△ABC上的点A，C的坐标分别为(－2-94-\n2，0,0)，(2-94-\nx22y2，0,0)，若点B在椭圆+168-94-\n=1上，则-94-\nsinA+sinCsin(A+C)-94-\n＝(A)2A.B.-94-\n2C.5D.3235设-94-\nF1，F2为双曲线-94-\nx2-y2=1169-94-\n的两个焦点，点在双曲线上，且满足ÐFPF=600，则DFPF-94-\n的面积为（C）1212333A.3B.6C.9D.9如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率之积为(A)3D.23.A．2B1C.2解析：选A设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，焦距为2c,由椭圆与双曲线的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a1,|AF1|－|AF2|＝2a2,在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝30°，13则|AF2|＝|FF|21＝c，|AF|1＝-94-\n|F1F2|＝3c,22所以2a1＝(3＋1)c,2a2＝(3－1)c，c2即e1＝＝-94-\nc23－1，e2＝＝，a13＋1a23－122所以e1·e2＝-94-\n×3＋1-94-\n＝2,即椭圆与双曲线的离心率之积为2.二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案写在答题纸上.）已知f(x)＝x2+x-m，如果f(1)>0是假命题，则实数m的取值范围是m³2．x2已知椭圆C:a2-94-\ny2b2-94-\n=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若AB^BF,则称其为“黄金椭圆”，那么“黄金椭圆”的离心率为5-1．215.已知圆C：(x+4)2+y2=9,圆C:(x-4)2+y2=1，动圆C与定圆CC-94-\n都外切则122动圆C3的圆心M的轨迹方程为x-94-\n3-=³y21（x1）15-94-\n1，22216.已知点P（m,n）是椭圆x+y43-94-\n=1上的一个动点，则m2-94-\nn2-94-\n2m的取值范围是[0，8]三．解答题（本大题共6小题，17小题10分，其它各小题每题12分，共70分.）17（本题10分）已知；不等式恒成立，若是的必要条件，求实数的取值范围.解：,即,是的必要条件,是的充分条件,不等式对恒成立,对恒成立,,当且仅当时,等号成立..18.（本题12分）已知-94-\nmÎR-94-\n,命题P:对"xÎ[0，1]-94-\n,不等式2x-2³m2-3m-94-\n恒成立;命题-94-\nq:$xÎ[-1,1]-94-\n,使得-94-\nm£ax-94-\n成立.若P为真命题,求m的取值范围;当-94-\na=1-94-\n时,若-94-\npÙq假,-94-\npÚq-94-\n为真,求m的取值范围.解析过程：(1)对任意x∈[0,1],不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立,∴﹣2≥m2﹣3m,解得1≤m≤2.(2)a=1时,存在x∈[﹣1,1],使得m≤ax成立.∴m≤1.∵p且q为假,p或q为真,∴p与q必然一真一假,∴或,解得1＜m≤2或m＜1.∴m的取值范围是(﹣∞,1)∪(1,2].219.（本题12分）已知椭圆：x2椭圆于A、B两点.求弦AB的长．求△OAB的面积.-94-\ny2-94-\n=1，过左焦点F作倾斜角为-94-\n3p的直线l交4解析：（1）423-94-\n（2）23x2y220.（本题12分）已知椭圆-94-\n+a2b2-94-\n=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若FF=2，椭圆的离心率为e=1122求椭圆的标准方程．若P是椭圆上的任意一点，求-94-\nPF1·PA-94-\n的取值范围．解：（1）由题意，∵|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=123∴c=1，a=2，∴b=（2）设P(x0,y0)，则-94-\n，∴椭圆的标准方程为x+y=12243∵A（﹣2，0），F1（﹣1，0），∴PF·PA=（﹣1﹣x）（﹣2﹣x）+y2=1x2+3x-94-\n+5=0，100-94-\n0400由椭圆方程得﹣2≤x0≤2，二次函数开口向上，对称轴x=﹣6＜﹣2当x0=﹣2时，取最小值0，当x0=2时，取最大值12．∴PF1·PA-94-\n的取值范围是[0，12]21.（本题12分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．(1．若l的倾斜角为900，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2．设b=3，若l的斜率存在，且|AB|=耀，求l的斜率．21.解：(1．l-94-\nn△FAB是等边三角形，若的倾斜角为2，1把x=c=1tb2代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2，b221tb2由tan∠AFF=tann=3=-94-\n，求得b2=2，b=2，1263故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±2x，即双曲线的渐近线方程为y=±2x．(2．设b=3，则双曲线为x2—y2=1，F-94-\n(2h 0．，y232若l的斜率存-94-\nx2-=1b2-94-\n在，设l的斜率为k，则l的方程为y—0=k(x—2．，即y=kx—2k，y=kx—2k联立x2—y2=1，可得(3—k2．x2t耀k2x—耀k2—3=0，3由直线与双曲线有两个交点，则3—k2G0，即kG±3．△=36(1tk2．香0．xtx=耀k2，x·x-94-\n=耀k2t3．12k2—312-94-\nk2—31tk2∵|AB|=1tk2=·-94-\n|x1—x2|=-94-\n·1tk2(x1tx2．2—耀x1·x2(耀k2．2—耀·耀k2t3k2—3k2—3=耀，5化简可得，5k耀t耀2k2—27=0，解得k2=3，求得k=±15．5∴l的斜率为±15．522.（本题12分）已知直线-94-\nl:y=kx+-94-\n3与y轴的交点是椭圆2C:x2+ym-94-\n=1(m>0)-94-\n的一个焦点.求椭圆C的标准方程；若直线l与椭圆c交于A，B两点，是否存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点o？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．3解析：（1）因为直线l:y=kx+-94-\n与y轴的交点坐标为(0，3)2所以椭圆C：x2+ym-94-\n=1(m>0)-94-\n的一个焦点坐标F（0，3）-94-\n，所以椭圆的半焦3距C=，①若1=m+3,m=-2<0-94-\n，不合题意；②若m=c2+1=3+1=4-94-\n，符合题意.故所求椭圆C的方程为-94-\ny2+2=x1．42（2）将直线方程-94-\ny=kx+-94-\n代入椭圆方程C:-94-\ny+x2=14-94-\n并整理得3(k2+4)x2+2-94-\n3x-1=0（*）设点A(x1,y1),B(x2,y2)-94-\n，由韦达定理得：．假设以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，则，即．又，于是，解得，经检验知：此时（*）式，适合题意.故存在，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点-94-
