株洲市二中2022年下学期高三年级第二次月考试卷数学（理科）试题时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题区域中。）1．已知集合A={1，2，m2}，B={1，m}．若B⊆A，则m=（）A．0 B．2 C．0或2 D．1或22．“∀x∈R，x2+ax+1≥0成立”是“|a|≤2”的（）A．充分必要条件 B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件3．在等比数列中，，，则公比等于（）A．-2B．1或-2C．1D．1或24．将函数图象向左平移个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．5．二项式的展开式中，常数项的值是（）A．B．C．D．6．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（ ）A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）7．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．7B．10C．11D．168．上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（）A．4B．5C．D．9．从分别写有A,B,C,D,E的五张卡片中任取两张，这两张的字母顺序恰好相邻的概率是（）A．B．C．D．10．设均为实数，且17\n则（）11．在中，若，且，则的周长为（）A．B．C．D．12．已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤其中正确命题的个数是（）A．5B．4C．3D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．i为虚数单位，计算＝ .14．已知平面向量a,b满足a=(1,−1),(a+b)⊥(a−b),那么｜b｜＝ .15．若变量x，y满足约束条件则的最大值是____．16．中，角所对的边分别为，下列命题正确的是________.①若最小内角为，则；②若，则；③存在某钝角，有；⑤若，则.④若，则的最小角小于；三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本题满分12分）数列满足，，．（I）设，证明是等差数列；（II）求的通项公式．17\n18．（本题满分12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．19．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4．(Ⅰ)求证：BC⊥平面BDE；ACDEFB(Ⅱ)试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°．20．（本题满分12分）已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．直线：与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果，点关于直线的对称点在轴上，求的值．17\n21．（本题满分12分）已知是函数的极值点，自然对数底数．（I）求值，并讨论的单调性；（II）是否存在，使得当时，不等式对任意正实数都成立？请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知A，B，C，D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，D为切点，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（I）求证：BD平分∠ABC；（II）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长．23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（I）求的参数方程；（II）若点在曲线上，求的最大值和最小值．24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式．17\n（I）当时，求此不等式的解集；（II）若此不等式的解集为，求实数的取值范围．17\n株洲市二中2022届高三第二次月考座位号数学（理）答卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题次123456789101112答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．；14．；15．；16．。三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(12分)17\nACDEFB18．(12分)19．(12分)17\n20．(12分)21．(12分)17\n选做题（10分）17\n株洲市二中2022年下学期高三年级第二次月考试卷数学（理科）试题时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题区域中。）1．已知集合A={1，2，m2}，B={1，m}．若B⊆A，则m=A．0 B．2 C．0或2 D．1或2答案：C2．“∀x∈R，x2+ax+1≥0成立”是“|a|≤2”的A．充分必要条件 B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A3．在等比数列中，，，则公比等于(A)-2(B)1或-2(C)1(D)1或2答案：B4．将函数图象向左平移个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是(A)(B)(D)答案：C5．二项式的展开式中，常数项的值是（）A．B．C．D．答案：A6．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（ ） A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）答案：C7．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是(A)7(B)10(C)11(D)16答案：C8．上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是(A)4(B)5(C)(D)答案：D17\n9.从分别写有A,B,C,D,E的五张卡片中任取两张，这两张的字母顺序恰好相邻的概率是（）A．B．C．D．答案：A10、设均为实数，且则答案：A11、在中，若，且，则的周长为（）A．B．C．D．答案：D12、已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤。其中正确命题的个数是（）A．5B．4C．3D．1答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．i为虚数单位，计算＝ .答案：14．已知平面向量a,b满足a=(1,−1),(a+b)⊥(a−b),那么｜b｜＝ .答案：15．若变量x，y满足约束条件则的最大值是____．16．中，角所对的边分别为，下列命题正确的是________.①若最小内角为，则；②若，则；③存在某钝角，有；④若，则的最小角小于；⑤若，则.【答案】①④⑤【解析】对①，因为最小内角为，所以，17\n，故正确；对②，构造函数，求导得，，当时，，即，则，所以，即在上单减，由②得，即，所以，故②不正确；对③，因为，则在钝角中，不妨设为钝角，有，故,③不正确；对④，由，即，而不共线，则，解得，则是最小的边，故是最小的角，根据余弦定理，知，故④正确；对⑤，由得，所以，由②知，，即，又根据正弦定理知，即，所以，即.故①④⑤正确.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本题满分12分）数列满足，，．（I）设，证明是等差数列；（II）求的通项公式．解：（I）由得，∴是首项为1，公差为2的等差数列；（II）由（I）得，于是，当时，而，∴的通项公式．18．（本题满分12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．17\n（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．19．（本小题共12分）ACDEFB如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4．(Ⅰ)求证：BC⊥平面BDE；(Ⅱ)试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°．（Ⅰ）证明：因为平面ABEF平面ABCD，EDAB．所以ED平面ABCD又因为BC平面ABCD，所以EDBC．17\n在直角梯形ABCD中,由已知可得BC2=8，BD2=8，CD2=16，所以，CD2=BC2+BD2，所以，BDBC又因为EDBD=D，所以BC平面BDE．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系DxyzACDEFBxzy则设，则令是平面BEF的一个法向量，则所以，令，得所以因为AP与平面BEF所成的角等于，所以AP与所成的角为或所以所以又因为，所以或当时，（*）式无解当时，解得：所以，或.20．（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．直线：与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果，点关于直线的对称点在轴上，求的值．解：（Ⅰ）抛物线，所以焦点坐标为，即，所以．又因为，所以．所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，因为，，17\n所以，，所以，所以．由，得（判别式），得，，即．设，则中点坐标为，因为，关于直线对称，所以的中点在直线上，所以，解得，即．由于，关于直线对称，所以，所在直线与直线垂直，所以，解得．21．（本小题满分12分）已知是函数的极值点，自然对数底数．（I）求值，并讨论的单调性；（II）是否存在，使得当时，不等式对任意正实数都成立？请说明理由．解：（I），由题意，得，此时，定义域是，令，∵，∴在是减函数，且，因此当时，，当时，，∴在上是增函数，在上是减函数；（II）不等式可以化为，设，则，即判断是否存在，使在是减函数，…………（8分）∵，∵，，，17\n∴在和上各有一个零点，分别设为和，列表：极小极大∴在是增函数，在是减函数，∵，∴存在这样的值，且．…………（12分）【注意】“当时，不等式对任意正实数都成立”这句话符合必修1中函数单调性定义，说明在是减函数．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知A，B，C，D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，D为切点，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（I）求证：BD平分∠ABC；（II）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长．证明：（I），又切圆于点，，，而，，即BD平分∠ABC；（II）由（I）知，又，又为公共角，∴与相似，，∵AB＝4，AD＝6，BD＝8，∴AH=3．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（I）求的参数方程；（II）若点在曲线上，求的最大值和最小值．解：（I）的极坐标方程化为，∴的直角坐标方程是，即，的参数方程是，是参数；（II）由（是参数）得到∴的最大值是6，最小值是2．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式．（I）当时，求此不等式的解集；（II）若此不等式的解集为，求实数的取值范围．17\n解：（I）当时，此不等式为，解得，∴不等式的解集为；（II）∵，∴原不等式解集为等价于，∵，∴，∴实数的取值范围为．17
