株洲市二中2022年下学期高二第二次月考理科数学试卷分值：150分时量：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1、设集合，则（）A、B、C、D、2、已知“成等比数列”，“”，那么成立是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又非必要条件3、函数的图象大致为（）4、某三棱锥的三视图如所示,该三棱锥的体积为（）A．20B．C．56D．605、中，，BC＝3，则的周长为（）A． B．C． D．6、为了在运行下面的程序之后得到输出y＝16，键盘输入x应该是（）A．或B．C．或D．或-12-\n7、定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则大小关系是()A．B．C．D．8、函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为（）A．B．C．D．9、已知椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2.P是椭圆上一点.PF1F2为以F2P为底边的等腰三角形,当60°<PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．()B．()C．()D．(0)10、定义在R上的函数若关于x的方程有三个不同的实数解，，，且，则下列结论错误的是[（来（源（:]（9A、B、C、D、二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11、已知函数，则等于_________。12、已知等比数列则前9项之和等于．13、若直线与曲线有公共点,则的取值范围是．14、已知向量与的夹角为°,且,,若,且,则实数的值为__________.15、设函数的定义域为D,若存在非零常数l使得对于任意有且,则称为M上的l高调函数．对于定义域为R的奇函数,当-12-\n,若为R上的4高调函数,则实数a的取值范围为________三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16、（本题满分12分）设函数是实数集R上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性并加以证明；（3）求函数的值域．17、（本题满分12分）已知函数的在区间上的最小值为0.（Ⅰ）求常数a的值；（Ⅱ）当时，求使成立的x的集合.18、（本题满分12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；-12-\n19、（本题满分13分）已知数列中，（1）求数列的通项公式（2）若数列满足数列的前项和为若不等式对一切恒成立，求的取值范围。20、（本题满分13分）已知椭圆C：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．21、（本题满分13分）设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围；(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，…，xn，…的增减性．-12-\n株洲市二中2022年下学期高二第二次月考理科数学答案分值：150分时量：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1、设集合，则()A、B、C、D、【答案】B2、已知“成等比数列”，“”，那么成立是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又非必要条件【答案】D3、函数的图象大致为【答案】C4、某三棱锥的三视图如所示,该三棱锥的体积为（）A．20B．C．56D．60【答案】B5、中，，BC＝3，则的周长为（）A． B．-12-\nC． D．【答案】D6、为了在运行下面的程序之后得到输出y＝16，键盘输入x应该是（）A．或B．C．或D．或【答案】C源:学#科7、定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则大小关系是()A．B．C．D．【答案】D8、函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D9、已知椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2.P是椭圆上一点.PF1F2为以F2P为底边的等腰三角形,当60°<PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A．()B．()C．()D．(0)【答案】B．10、定义在R上的函数若关于x的方程有三个不同的实数解，，，且，则下列结论错误的是-12-\nA、B、C、D、【答案】D二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11、已知函数，则等于___________12、已知等比数列则前9项之和等于．7013、若直线与曲线有公共点,则的取值范围是．【答案】14、已知向量与的夹角为°,且,,若,且,则实数的值为__________.【答案】15、设函数的定义域为D,若存在非零常数l使得对于任意有且,则称为M上的l高调函数．对于定义域为R的奇函数,当,若为R上的4高调函数,则实数a的取值范围为________【答案】三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16、(本题满分12分)设函数是实数集R上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性并加以证明；（3）求函数的值域．解：（1）是R上的奇函数，即，即即∴或者是R上的奇函数-12-\n，解得，然后经检验满足要求。（2）由（1）得设，则，，所以在上是增函数（3），所以的值域为(-1，1)或者可以设，从中解出，所以，所以值域为(-1，1)17、(本题满分12分)已知函数的在区间上的最小值为0.（Ⅰ）求常数a的值；（Ⅱ）当时，求使成立的x的集合.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】解析：（Ⅰ）因为，所以.因为时，，所以时的取得最小值.依题意，，所以；…………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知.-12-\n要使，即.所以，即.当时，；当时，.又，故使成立的x的集合是.……………………（12分）18、(本题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；解析(1)由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD.又由AD⊥AC，PA∩AC＝A，故AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以PC⊥AD.(2)如图所示，作AH⊥PC于点H，连接DH.由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A－PC－D的平面角.在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝1，由此得AH＝.由(1)知AD⊥AH.故在Rt△DAH中，DH＝＝.因此sin∠AHD＝＝.所以二面角A－PC－D的正弦值为.19、(本题满分13分)已知数列中，（1）求数列的通项公式（2）若数列满足数列的前项和为若不等式对一切恒成立，求的取值范围。(1)由题知，-12-\n（4分）（2）两式相减得，（8分），为单增数列，①当为正奇数时，对一切正奇数成立，②当为正偶数时，对一切正偶数成立，综合①，②知，（13分）20、(本题满分13分)已知椭圆C：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或.【解析】解析：（Ⅰ）由已知可得解得所以椭圆C的标准方程是.…………………………………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).设直线的方程为，将直线的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得，其判别式-12-\n设则于是设为的中点，则点的坐标为.因为，所以直线的斜率为，其方程为.当时，，所以点的坐标为，此时直线OT的斜率为，其方程为.将点的坐标为代入，得.解得.………………………………………………（8分）（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线上任意一点可得，点T的坐标为.于是，.所以.当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值．故当最小时，T点的坐标是或……………………………………（13分）21、(本题满分13分)设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围；(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，…，xn，…的增减性．21．解：(1)b＝1，c＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn＋x－1.-12-\n∵fnfn(1)＝×1<0，∴fn(x)在内存在零点．又当x∈时，f′n(x)＝nxn－1＋1>0，∵fn(x)在上是单调递增的，∴fn(x)在内存在唯一零点．(2)当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：①当>1，即|b|>2时，M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．②当－1≤－<0，即0<b≤2时，M＝f2(1)－f2＝2≤4恒成立．③当0≤－≤1，即－2≤b≤0时，M＝f2(－1)－f2＝2≤4恒成立．综上可知，－2≤b≤2.注：②，③也可合并证明如下：用max{a，b}表示a，b中的较大者．当－1≤－≤1，即－2≤b≤2时，M＝max{f2(1)，f2(－1)}－f2＝＋－f2＝1＋c＋|b|－＝2≤4恒成立．(3)法一：设xn是fn(x)在内的唯一零点(n≥2)．fn(xn)＝x＋xn－1＝0，fn＋1(xn＋1)＝x＋xn＋1－1＝0，xn＋1∈，于是有fn(xn)＝0＝fn＋1(xn＋1)＝x＋xn＋1－1<x＋xn＋1－1＝fn(xn＋1)，又由(1)知fn(x)在上是递增的，故xn<xn＋1(n≥2)，所以，数列x2，x3，…，xn，…是递增数列．法二：设xn是fn(x)在内的唯一零点，fn＋1(xn)fn＋1(1)＝(x＋xn－1)(1n＋1＋1－1)＝x＋xn－1<x＋xn－1＝0，则fn＋1(x)的零点xn＋1在(xn,1)内，故xn<xn＋1(n≥2)，所以，数列x2，x3，…，xn，…是递增数列．-12-
