江西省赣州市信丰县信丰中学2022-2022学年高二数学上学期第一周周考试题A理1.已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1(a>0)交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A.B.C．2D．32．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e等于( )A.B.C.D.3.设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.B．5C.D.4..如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为( )A.B.C.D.5．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面6．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积的最大值为( )A.B.C.D.7．设P是60°的二面角α—l—β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A、B分别为垂足，PA＝4，PB＝2，则AB的长是( )A．2B．2C．2D．48．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面三角形的边长是a，D，E分别是BB1，CC1上的点，且EC＝BC＝2BD，则平面ADE与平面ABC的夹角的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．90°9．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′等于( )A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶310．设实数x，y满足，则的取值范围是（）8\nA．B．C.D．11.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为()A．.B．C．D．12.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是()A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2022·安庆模拟)若一个圆的圆心在抛物线y2＝4x的焦点处，且此圆与直线3x＋4y＋7＝0相切，则这个圆的方程为________________．14．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B.若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．15．(2022·江西)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．16．若方程＋＝1所表示的曲线C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1<t<4；②若C为双曲线，则t>4或t<1；③曲线C不可能是圆；④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1<t<.其中正确的命题是________．(把所有正确命题的序号都填在横线上)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17．三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．18已知函数．（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；（2）解关于x的不等式f（x）＞a+3；（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．8\n19．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角FABP的余弦值．20．.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)求二面角FBED的余弦值；(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21．已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为l．直线l：y=kx+b与抛物线交于B，C两点．（1）求抛物线的方程；（2）当直线OB，OC的倾斜角之和为45°时，证明直线l过定点．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若kAC•kBD=﹣，8\n（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．8\n高二理科练习一（理科A层）参考答案一．选择题题号123456789101112答案BDDBBDCBACBA二．填空题13．(x－1)2＋y2＝4 14.15.＋＝1解析 由题意可得切点A(1,0)．切点B(m，n)满足解得B(，)．∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0.令y＝0得x＝1，即c＝1；令x＝0得y＝2，即b＝2.∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为＋＝1.16．②三．解答题17解答：解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0．∴a=2c，或C=90°（不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去）．由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b2=ac，∴b=c，∴cosB===．（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b2=3，sinB=，∴△ABC的面积S=ac•sinB=．18解答：解：（1）∵a=4，∴，当x=2时，取得等号，∴当x=2时，f（x）min=6．（2）由题意得，∴x2+2x+a＞（a+3）x，∴x2﹣（a+1）x+a＞0，∴（x﹣1）（x﹣a）＞0，当a≤1，不等式的解为x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），当a＞1，不等式的解为x＞a，即不等式的解集为（a，+∞）．（3），等价于a＞﹣x2﹣2x，当x∈[1，+∞）时恒成立，8\n令g（x）=﹣x2﹣2x，则当x∈[1，+∞）时，g（x）的最大值为g（1）=﹣1﹣2=﹣3，19．解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．(1)证明：＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，故·＝0，所以，BE⊥DC.(2)＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量．于是有cos〈n，〉＝＝＝，所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)＝(1，2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1，故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得·＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，即＝.设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.20.解：(1)证明：∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC.∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE.(2)∵DE⊥平面ABCD，∴∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角，即∠EBD＝60°.8\n∴＝.由AD＝3，得BD＝3，DE＝3，AF＝.如图，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)．∴＝(0，－3，)，＝(3，0，－2)．设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则，即.令z＝，则n＝(4，2，)．∵AC⊥平面BDE，∴＝(3，－3，0)为平面BDE的一个法向量．∵cos〈n，〉＝＝＝.故二面角FBED的余弦值为.(3)依题意，设M(t，t，0)(t>0)，则＝(t－3，t，0)，∵AM∥平面BEF，∴·n＝0，即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.∴点M的坐标为(2，2，0)，此时＝，∴点M是线段BD上靠近B点的三等分点．22解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设kAC=k，∵kAC•kBD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．8\n解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．8
