遂川中学2022届高三年级第一学期第六次月考数学试卷(文科)一、选择题(每小题5分，共60分)1.设全集I是实数集R，与都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为()A.B.C.D.2.已知复数的共轭复数(i为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知下列四个关系：①；②；③；④.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.函数(其中为自然对数的底)的图象大致是()ABCD5.设命题甲：关于x的不等式对一切恒成立，命题乙：设函数在区间上恒为正值，那么甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为()A.B.C.D.7.已知时取得最大值,若则()A.B.2C.D.-28.已知椭圆，点M与的焦点不重合，若M关于-11-\n的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在上，则()A.6B.12C.9D.159.中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且面积为，则的最大值为（）A.2B.3C.4D.510.若直线与不等式组表示的平面区域无公共点，则范围为（）A.B.C.D.11.数列若对于任意，都有，成立,则为()A.B.C.D.12.已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题(每小题5分，共20分)13..14.过点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍的直线方程是.15.已知四面体ABCD中，则其外接球的表面积为.16.在空间直角坐标系中，正方体棱长为，且A、B分别在轴，轴上运动，正方体可以转动，O为原点，则长的最大值为.三、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)在四棱锥中，，平面，为的中点，，.(1)求四棱锥的体积；(2)若为的中点，求证：平面平面.-11-\n18.(本小题满分12分)如图，P是单位圆上任意一点，点，平行四边形的面积为S，(1)若，求点P的坐标.(2)若求的值.19.(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且满足(1)求证：为等比数列，并求.(2)若，数列的前项和为，求.20.(本小题满分12分)全世界越来越关注环境保护问题，辽宁省某监测站点于2022年8月某日起连续x天监测空气质量指数(AQD)，数据统计如下：空气质量指数0～5051～100101～150151～200201～250-11-\n(μg/m3)空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040y105(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x,y的值，并完成频率分布直方图(2)在空气质量指数分别为50～100和151～200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“2天空气都为良”发生的概率。21.(本小题满分12分)已知圆的半径为，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切.(1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆交于不同的两点，且为时，求：的面积.22.(本小题满分12分)已知函数.⑴当，求函数在区间上的极值；⑵当时，函数只有一个零点，求正数的值.-11-\n参考答案1.A【解析】试题分析：图中阴影部分所表示的集合为，因为，，所以，故选A.考点：1.集合的运算；2.不等式的解法.2.D【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限，故选C.3.B【解析】试题分析：当时，①不正确.当时，②不正确.由于，所以，所以，正确.由于，当时，故正确.所以有两个是正确的.考点：不等式的性质.4.A【解析】因为函数为偶函数，所以去掉D,因为当时，所以当时，去掉B;当时，去掉C，因此选A.5.B【解析】试题分析：命题甲为真命题，则有，即，命题乙为真命题，则有，因为是的真子集，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B.考点：充要条件的判断.6.D【解析】由题意得圆心F(1，0)，半径等于，半径，故点的轨迹是以为焦点的椭圆，，∴椭圆的方程为.故选D.钝角：本题考查用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义求轨迹是解题的难点.7.C-11-\n8.B9.A10.11.B【解析】当时，时，即。构造函数，当x<0时，，即F(x)在上递增，为奇函数。所以F(x)在单调递增。因为，所以，即，所以,,所以。选B.12.A【解析】试题分析：原命题等价于与有交点在上有解，在上有零点，令当时，是减函数，当时，是增函数，又.考点：函数与方程.-11-\n【方法点晴】本题考查合函数与方程，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用数形结合思想和转化化归思想将原命题转化为与有交点在上有解，在上有零点，令当时，是减函数，当时，是增函数，又.13.(1)(2)【解析】试题分析：(1)设，根据中点坐标公式得坐标，由，运用两点间的距离公式建立方程进行化简即可；(2)要使直线被圆截得弦长最短，只要，即可得出直线的斜率.试题解析：(1)设，由题知：，由，得化简得：，即点M的轨迹C的方程为(2)(O为原点)∴点P在圆C的内部，故当时，弦MN最短.因为直线OP的斜率为-2，所以直线的斜率为.根据点斜式，直线的方程为，即.点睛：直线被圆所截的弦长问题一般用几何法求解，即求得圆心到弦所在直线的距离(弦心距)，则弦长(其中是圆的半径)，而圆中过定点的弦中，弦心距最大值一定为圆心与定点的距离，从而要使弦长最短，则必有圆心与定点的连线垂直过定点的弦.14.(1)；(2).【解析】试题分析：(1)根据条件得出的关系，再结合正弦定理以及就可以求出-11-\n的值；(2)先由余弦定理求出一个内角，再由正弦定理求出外接圆的半径，进而可求得外接圆的面积.试题解析：(1)由已知得，即，所以.因为，所以，由正弦定理得，因为，所以.(2)由余弦定理得，即.因为，所以，设外接圆的半径为，则，解得.所以外接圆的面积为.考点：1、正弦定理和余弦定理；2、三角形的面积.15.(1)；(2)详见解析【解析】试题分析：(1)利用，即可求出结果；(2)因为，再利用不等式放缩，可得，再采用裂项相消即可求出结果.试题解析：(1)当时，有即∴又当时，时，-11-\n(2)∴==.考点：1.数列的递推关系；2.裂项相消法求和.【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型，常见的有①；②对数运算本身可以裂解；③阶乘和组合数公式型要重点掌握和.16.(1);(2)详见解析.【解析】试题分析：(1)在中可求得的边长，在中可求得的边长.此两直角三角形的面积的和即为底面面积,根据棱锥的体积公式可得四棱锥的体积.(2)根据线面垂直的判定定理可证得.由三角形中位线可证得//,所以.根据面面垂直的判定定理可证得平面平面.试题解析：解：(1)在中，，，∴在中，，，-11-\n,(2)∵，∴.又，∴，∵，∴//∴，∴.考点：1棱锥的体积;2线面垂直,面面垂直.18.【解析】试题分析：根据题意有，所以.考点：向量的模，向量的数量积的定义式.19.【解析】,即，故答案为.20.21.【解析】试题分析：由题意可得：圆心到直线的距离-11-\n，所以半弦长为所以的面积为当且仅当时成立.考点：直线与圆的综合问题.22.【解析】圆的圆心为(0,0)，半径为4；直线方程即为。当圆上至少有三个点到直线的距离都是时，则圆心到直线的距离，即，解得。所以的取值范围是。答案：。-11-
