南康中学2022～2022学年度第一学期高二第二次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（）A.在直线上B.在直线上C.在直线上D.都不对2.圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（）A．扩大到原来的倍B．缩小到原来的一半C．缩小到原来的D.不变3.等比数列，满足，且，，则（）A．31 B．36 C．42 D．484．在棱长为1的正方体中，分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.5.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第6组抽取的号码为143，则第一组抽取的号码为（）A.16B.17C.18D.196.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．-11-\nB．C．D．7．直线关于直线对称的直线方程是（）A．B．C．D．8．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则（）A.B.C.D.（第8题）（第9题）9.如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为（）A.B.C.D.10.在正方体中中，，点在棱上，点在棱上，且平面∥平面.若，则三棱锥外接球的表面积为()A． B． C．D．11.已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，记四边形的面积为，当在圆上运动时，的取值范围为（）-11-\nA.B.C.D.12.如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于，设给出以下四个命题：①直线与所成的角为锐角；②当且仅当时，四边形的面积最小；③四边形周长,则是奇函数；④不论为何值，四棱锥的体积为定值；其中正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列满足，则______．14.已知圆锥的母线长度为2，圆锥的底面圆半径为,一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为______．15.过点向圆所引的切线方程为______．16．如图，在正方体中，点为线段的中点，设动点在线段上运动，直线与平面所成的角为，则的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余小题各12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．在中，．（I）求的大小；（II）求的最大值．18.已知圆经过两点，，且圆心在直线上，直线的方程为．（I）求圆的方程；-11-\n（II）证明：直线与圆恒相交；19．如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点.（I）求异面直；（II）求点20.设数列的前n项和为，且，，数列满足，点在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（I）求数列，的通项公式；（II）设，求数列的前项和．21.如图，四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，PAB是边长为a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知点M是PD的中点．(1)证明：PB∥平面AMC；(2)求直线BD与平面AMC所成角的正弦值．-11-\n22.如图，菱形中，，与相交于点，，.（I）求证：平面；（II）当直线与平面所成角的大小为时(i)求三棱锥的体积.(ii)求二面角的余弦值.-11-\n南康中学2022～2022学年度第一学期高二第二次大考数学（理科）参考答案一．选择题：1-5：CBABC;6-10：ADDBB;11-12:CB;12.【解析】②因为，四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可，此时当为棱的中点时，即时，此时长度最小，对应四边形的面积最小．所以②正确．④连结，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以为底，以分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形的面积是个常数．到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为定值，所以④正确．二、填空题：13.63;14.2；15.；16.；16.解析：连结A1O，OP和PA1，不难知∠POA1就是直线OP与平面A1BD所成的角或其补角设正方体棱长为2，则AO＝，A1O＝，(1)当P点与C点重合时，PO＝，A1P＝2，且cosα＝，此时α＝∠A1OP为钝角，sinα＝(2)当P点与C1点重合时，PO＝A1O＝，A1P＝2，且cosα＝，此时α＝∠A1OP为锐角，sinα＝(3)在从钝角逐渐变化到锐角的过程中，CC1上一定存在一点P，使得α＝∠A1OP＝90°，sinα＝1由于＜，sinα的取值范围是[，1].因此sinα最小值为三、解答题：-11-\n17.【解析】：（1），又∵，∴......................(4)分（2）由（1）知,.........................................(8)分因为，所以当时，取得最大值.................................(10)分18.【解析】（1）设圆C的方程为,圆心坐标..............(1)分由条件，得,解得........................................(5)分∴圆的方程为即..............................(6)分（2）由，得，令，得，直线l过定点M（3，-1），由，知点M（3，-1）在圆内∴直线l与圆C恒相交．.................................................（12分）-11-\n20.【解析】：（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1﹣an=2an即an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．所以an=3n﹣1．.........................................................................（3分）由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．则bn=1+（n﹣1）•2=2n-1...................................................................（6分）（2）因为，所以．-11-\n则，两式相减得：．................................................（9分）所以=．...........................................................(12分）21.解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OM，因为四边形ABCD为菱形，OB＝OD，又M为PD的中点，所以OM∥PB.由PB⊄平面AMC，OM⊂平面AMC，所以PB∥平面ACM..................................(4分）则，，，，，，则，设平面AMC的法向量为n＝(x，y，z)，则令，则，，即............(8分）-11-\n又，设，则，故直线BD与平面AMC所成角的正弦值为.......（12分）22............................................................................................（4分）.（II）(i)以为原点，以所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.则，..........................................（5分）设，则，，设平面的法向量为，则即，令，得，，与平面所成角的大小为，，解得或（舍），-11-\n故平面的一个法向量为，.................................（7分），...................（9分）（II）(ii)又，，所以平面的一个法向量为，则故二面角的余弦值为．..........................（12分）-11-
