江西省2022年上学期奉新县第一中学高三数学理第一次月考试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）ACDBCABCDDAC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.(－∞，－1)14.15.216.-9三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知p：，q：(m>0)，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．[解析] ∵“¬p是¬q必要不充分条件”的等价命题是：p是q的充分不必要条件．设p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．∵p是q的充分不必要条件，∴AB.∴(两个等号不能同时取到)，∴m≥9.18.（本题满分12分）已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．[解析] 当对称轴x＝a<0时，如图1所示．7/7\n当x＝0时，y有最大值，ymax＝f(0)＝1－a.∴1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，∴a＝－1.图1 图2当0≤a≤1时，如图2所示．即当x＝a时，y有最大值，ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.∴a2－a＋1＝2，解得a＝.∵0≤a≤1，∴a＝舍去．当a>1，如图3所示．图3由图可知，当x＝1时y有最大值，ymax＝f(1)＝2a－a＝2，∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2.7/7\n综上可知，a的值为－1或2.19.（本题满分12分）设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.∴f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)∵f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值．∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图1所示．∴a＋2＝0，即a＝－2.当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图2所示．∴a－2＝0，即a＝2.综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．7/7\n20.（本题满分12分）已知函数的周期为，其图象上的一个最高点为.（1）求函数的解析式（2）当时，求函数的最值及相应的值21.（本题满分12分）已知函数f(x)＝aex－lnx－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.7/7\n(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.从而f(x)＝ex－lnx－1，f′(x)＝ex－.当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)证明：当a≥时，f(x)≥－lnx－1.设g(x)＝－lnx－1，则g′(x)＝－.当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥时，f(x)≥0.22.（本题满分12分）已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝.(1)求f(x)的最小值；(2)对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)都有恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．7/7\n(1)解：由题意，得f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，∴x＝.∵当x∈时，f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减；∵当x∈时，f′(x)>0，∴f(x)在上单调递增．∴函数f(x)的最小值为f＝－.(2)解：∵x>0，∴问题等价于a≤＝2lnx＋x＋在x∈(0，＋∞)上恒成立，记t(x)＝2lnx＋x＋，则a≤[t(x)]min，∵t′(x)＝＋1－＝，令t′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍)．∵x∈(0,1)时，t′(x)<0，∴函数t(x)在(0,1)上单调递减；∵x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，∴函数t(x)在(1，＋∞)上单调递增．∴[t(x)]min＝t(1)＝4，即a≤4，即实数a的取值范围为(－∞，4]．7/7\n(3)证明：问题等价于证明xlnx>－，x∈(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝xlnx的最小值f＝－，设φ(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则φ′(x)＝，令φ′(x)＝0，得x＝1.∵x∈(0,1)时，φ′(x)>0，∴函数φ(x)在(0,1)上单调递增；∵x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，∴函数φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴[φ(x)]max＝φ(1)＝－，因此xlnx≥－≥－.又两个等号不能同时取得，∴xlnx>－，即对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org7/7
