2022--2022学年第一学期期中考试高二理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．与直线平行且过点的直线方程为（）A．B．C．D．2．若一组数据的方差为1，则的方差为（）A．1 B． 2 C． 4 D．83．已知，且，则（）A. B. C. D. 4．若数列为等差数列，为其前项和，且，则（）A. B. C. D. 5．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°6．在等比数列中，，，则的前9项和（）A. B. C. 或 D. 或7．半径为的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ）-12-\nA. B. C. D. 8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A．B．C．D．（第八题图）9．平面内与点距离为，且与点距离为的直线的条数为（）A．B．C．D．10．已知两点,若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，且满足，，，则三棱锥的侧面积的最大值为（）A．2B．4C．8D．1612．如图所示，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为，设，则当时，函数的值域为（）A．B．C．D．（第十二题图）-12-\n第Ⅱ卷二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知,,,则向量与的夹角为．14．若实数满足则的取值范围是．15．已知正方体棱长为，点是的中点，是上的一动点，则的最小值为________．16．在锐角中，角,,所对的边长分别为,,，已知，且,则的周长的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数，（1）求函数的单调减区间；（2）若求函数的值域．18．（本小题满分12分）如图，是矩形中边上的点，为边的中点，,现将沿边折至位置，且平面平面．（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积．-12-\n19．（本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会于2022年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行．如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间变化的数据：时间（届）2627282930金牌数之和（枚）164476127165作出散点图如图：-12-\n由图可以看出，金牌数之和与时间之间存在线性相关关系，请求出关于的线性回归方程，并预测从第26届到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，20．（本小题满分12分）已知数列{}满足：．（1）求数列{}的通项公式；（2）若，为数列{}的前项和，对于任意的正整数都有恒成立，求实数的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面，点是的中点．（1）求证：∥平面；（2）设，，在线段上是否存在点，使得?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．-12-\n22．（本小题满分12分）已知圆，直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于两点，是中点．(1)当时，求直线的方程；(2)设，试问是否为定值,若为定值,请求出的值；若不为定值，请说明理由．NCMQPOA·lml-12-\n高二理科数学答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.C2.C3.A4.D5.C6.D7.C8.B9.B10.D11.C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.14.15.16.三、解答题（共6小题，每小题5分，共70分）17（本小题满分12分）解（4分）（1）当时为减函数（5分）即时为减函数则为减区间为（7分）（2）当时，（8分）∴∴的值域为.（10分）18.（本小题满分12分）（1）证明：在中，由得,在中，由得,（2分）-12-\n.（6分）(2)过作,，,（9分）四棱锥的高,,.（12分）19.（本小题满分12分）解：（1）近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图如图：………3分由图可得中国代表团获得的金牌数的平均数大于俄罗斯代表团的金牌平均数；俄罗斯代表团获得的金牌数较集中，中国代表团获得的金牌数较分散………5分（2）因为，，，，-12-\n所以，………8分，………9分所以金牌数之和关于时间的线性回归方程为，………10分当时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值，故预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为238枚．………12分21.（本小题满分12分）（1）解：由题意得，当n=1时，，则，…1分当时，，则，…3分两式相减得，即，…5分当n=1时，也符合上式，则.…6分（2）解：由（1）得=…7分所以………8分所以=……10分∴是关于的增函数，∴当n=1时，最小为因为对于任意的正整数n，恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是.………12分21.（本小题满分12分）-12-\n证明：（1）连结，设与的交点为，连结，∵是的中点，是的中点，∴∥．……2分∵平面，平面，∴∥平面．……5分（2）在线段上存在点且．使得.……6分证明如下：在线段上取点且，连结.∵底面，底面，∴．……7分由已知，为线段的中点，∴．又，∴平面．……8分∵平面，∴．……9分由已知得,在中，同理,∴即.又，∴平面．又平面，∴．……12分22．（（本小题满分12分）NCMQPOAxy·lml(1)当直线与轴垂直时,易知符合题意;……2分-12-\n当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,所以由,解得.……4分故直线的方程为或……5分(2)当与轴垂直时,易得,,又则,故.即……6分当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得.则,……8分即,.……9分又由得,则.……10分故.综上,的值为定值,且……12分解法二（几何法）:-12-\n连结,延长交于点，计算CA斜率知.又于,故△∽△.于是有.由得故-12-
