江西师大附中2022届高三数学第三次模拟考试试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页.满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效.3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：锥体体积公式，其中为底面积，为高.第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若,则复数z的虚部为(B)A.B.C.D.2.已知，且，则=（A）A．1B.-1C.D.3.已知向量，的夹角为，且，，则向量与的夹角为（D）A．B．C．D．4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（C）A.2B.1C.D.5．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的（B）A．l1和l2必定平行B．l1和l2有交点（）C．l1与l2必定重合D．l1与l2相交，但交点不一定是（）6．某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为(C)A.8B.16C.24D.607．已知双曲线－＝1的右焦点F与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的右焦点F-8-作其渐近线垂线，垂足为M，则点M纵坐标为(C)A.B．C．D．8.定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x0时,,则函数的零点的个数为（C ）A．1B．2C．0D．0或29.数列满足，，若数列的前项和为，则的值为(D)A.B.C.D.10.如图，液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是（B）第Ⅱ卷注：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.下列四个命题:①集合的真子集的个数为；②6的二项展开式中的常数项为160③④已知，条件：，条件：，则是的充分必要条件其中真命题的个数是________212．右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i>________i>1013.已知与()．-8-直线过点与点，则坐标原点到直线MN的距离是．114.函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”________.1三.选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题共5分.15．（1）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和从参数方程分别为（为参数）和（为参数）.则曲线与的交点坐标为.（2）对于实数,若的最大值为5四．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知向量，，其中ω0.函数最小正周期为，xR.（1）求f(x)单调递增区间；(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，求f(A)值.解：（1）=由得，解得f(x)单调递增区间为；（2）联立得：，即17.-8-师大附中红五月举行投篮比赛，比赛规则如下：每次投篮投中一次得2分，未中扣1分，每位同学原始积分均为0分，当累积得分少于或等于2分则停止投篮，否则继续，每位同学最多投篮5次.且规定总共投中5、4、3次的同学分别为一、二、三等奖，奖金分别为30元、20元、10元.某班甲、乙、丙同学相约参加此活动，他们每次投篮命中的概率均为，且互不影响.（1）求甲同学能获奖的概率；（2）记甲、乙、丙三位同学获得奖金总数为X，求X的期望EX.解：（1）；（2）记甲同学获得奖金为Y，则Y的分布列如下：Y0102030P，18.如图，三棱锥P-ABC中，平面PAB平面ABC，是边长为6的等边三角形，，AC=6，D、E分别为PB、BC中点，点F为线段AC上一点，且满足AD//平面PEF.PABCED（1）求值；（2）求二面角A-PF-E的余弦值.解：连结CD交PE于点G，过点G作交AC于点F，则AD//平面PEF.G为重心，又，所以（2）如图以AB中点O为原点建系，则，，，分别设平面PAF、面PEF的法向量为、则，取PABCEDGOyxz，取-8-19.已知数列{an}满足，(其中λ0且λ–1，nN*)，为数列{an}的前项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)当时，数列{an}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．解:(1)由题意，可得：，所以有，又.得到：，故数列从第二项起是等比数列又因为，所以n≥2时，……………………………4分所以数列{an}的通项…………………………………6分(2)因为所以……………………………………8分假设数列{an}中存在三项am、ak、ap成等差数列，①不防设m>k>p≥2，因为当n≥2时，数列{an}单调递增，所以2ak=am+ap即：2´()´4k–2=´4m–2+´4p–2，化简得：2´4k-p=4m–p+1即22k–2p+1=22m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1，故有：m=p=k，和题设矛盾………………………………………………………………10分-8-②假设存在成等差数列的三项中包含a1时，不妨设m=1，k>p≥2且ak>ap，所以2ap=a1+ak，2´()´4p–2=–+()´4k–2，所以2´4p–2=–2+4k–2，即22p–4=22k–5–1因为k>p≥2，所以当且仅当k=3且p=2时成立因此，数列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差数列……………………………12分20．（本题满分13分）已知椭圆经过点，一个焦点是．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与轴的两个交点为、，点在直线上，直线、分别与椭圆交于、两点．试问：当点在直线上运动时，直线是否恒经过定点？证明你的结论．解答：解：（I）一个焦点是F（0，﹣），故c=，可设椭圆方程为…（2分）∵点（，）在椭圆上，∴∴b2=1，（舍去）∴椭圆方程为…（4分）（II）直线MN恒经过定点Q（0，1），证明如下：当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1），…（6分）当点P不在y轴上时，设P（t，4），A1（0，2）、A2（0，﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），直线PA1方程y=，PA2方程y=，y=代入得（1+t2）x2+2tx=0，得x1=﹣，y1=，∴，…（8分）y=代入得（9+t2）x2﹣6tx=0-8-得x2=，y2=，∴，…（10分）∴kQM=kQN，∴直线MN恒经过定点Q（0，1）．…（12分）21.设函数（其中）的图像在处的切线与直线垂直．（1）求函数的极值与零点；（2）设，若对任意，存在，使成立，求实数的取值范围；（3）若，，，且，证明：．解：（1）因为，所以，解得：或，又，所以，由，解得，，所以，，因为，所以函数的零点是．（2）由（1）知，当时，，“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值大于在上的最小值，即当时，”,，①当时，因为，所以，符合题意；②当时，，所以时，，单调递减，所以，符合题意；③当时，，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以时，，令（），则，所以在上单调递增，所以时，，即，所以，符合题意，综上所述，若对任意，存在，使成立，则实数-8-的取值范围是．（3）证明：由（1）知，当时，，即，当，，，且时，，，，所以又因为，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号．-8-
