第二篇那些年我们一起错过的题一填空题【你能既快又准解好填空题吗？方法是否得当？选用公式是否正确？】⒈若集合，且，则实数的值为。分析：千万不要把“”再看成“”了。答案：42．若复数为纯虚数，则x=．分析：本是纯虚数，故答案：1.3．当A，B时，在构成的不同直线Ax－By＝0中，任取一条，其倾斜角小于45°的概率是．0．00050．00040．00030．00020．00011000150020002500300035004000月收入（元）分析：在数古典概型问题中基本事件（如：直线方程、对数的值）个数的时候，小心重复计数。答案：xBPyO4．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元/月）收入段应抽出人.分析：关键是计算公式，405．函数(x∈R)的部分图象如图所示，设O为坐标原点，是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则=．分析：，关键之一：B(2,0)而不是(1,0)；关键之二：计算的公式选取．用二角和与差的正切公式，答案：86．若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是．分析：S＝bcsinA，得10＝bcsin60°，得bc＝40，b＋c＝20－a，关键是：．答案：7.7．已知数列满足，，记数列的前21项和的最大值为，则.分析：关键是，答案：8．已知曲线，点A(0,-2)及点B(3,a)，从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是．分析：关键是用什么模型，设切点，则切线为，过点A(0,-2)，得切于点，切线为，切线与直线x=3的交点为(3,10)，故a＜10，答案：（－∞,10）9．若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同且.给出如下四个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③；④.其中，所有正确结论的序号是 ．分析：，从而③成立，关键之一：＞，由上得＞，从而①成立；②不成立；关键之二：→→＜，从而④成立；答案：①③④（可令c=1的特值法）10.（1）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为_____________.（2）已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿，，三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的体积为______．分析：（1）作图，在图形中尽可能寻找我们熟悉的条件（线线垂直、线面垂直、面面垂直等）或熟悉的图形（正四面体，正三棱柱等）。我们发现四面体，故，另我们发现（同地面等高）（2）读清题意“所有棱长都相等”可以知道三棱锥为正四面体，然后根据题意作图，可以得到棱长为，故使用正四面体的体积公式21答案：（1）；（2）911．（1）已知，且，，则的值等于.（2）若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是.分析：当题目中过多出现“和，差，积，平方和”即“”这些形式的时候，就应该使用完全平方和基本不等式（等）相结合的办法进行处理解决。答案：（1）2；（2）；（3）若满足,则的值为_____________.．（4）设数列满足，且对任意的，满足则______________.分析：可以使用两边夹逼定理。（1）左边=，右边=，利用求导的办法可以求出右边，故左边=右边，所以左边=右边=1，当且仅当。（2）由得，所以，即；由得；所以可以得到即21答案：（3）；（4）12.（1）如图，两射线互相垂直，在射线上取一点使的长为定值，在射线的左侧以为斜边作一等腰直角三角形．在射线上各有一个动点满足与的面积之比为，则的取值范围为__________．（2）如右侧下图,在等腰中,底边,若,则__________.．（3）已知为的外心，若，则等于______-．（4）已知向量，，满足，，则的最小值为．分析：向量问题一般可以采用两种方法处理，（1）（2）题图形比较特殊，故可以使用建系坐标法；（3）（4）题不能使用坐标法，故只能使用向量公式法。答案：（1）；（2）；（3）（4）.13.（1）定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是 ___________（2）设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为_______________.（3）若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是______________分析：这些问题实际要求考生对“”、“”、21“”等这些形式要具备一定的敏感度，这些就是在线性规划问题中提及的斜率问题、距离问题等。答案：（1）；（2）；（3）14.（1）若，且，则的最小值是．（2）已知中,，，且，面积的最大值是 _____________.（3）已知圆心角为的扇形的半径为1，为弧的中点，点分别在半径上.若，则的最大值是_______________.分析：一般这些题都偏后，做题时候，我们可以先试试能否交换下题目中的重要字母，如果交换后，发现题目没有改变的话，说明你交换的两个字母属地位等价，然后可以用特殊法操作。如：（1）“”与“”交换后，题目没有发生变化，故此题可以令来解得题目的最小值。答案：。（2）“”与“”交换后，题目没有发生本质变化，故此题说明点与点到原点的距离相等，故可以看做等腰三角形来解答。答案：。(3)“”与“”交换后，题目没有发生本质变化，故说明=，那么在这个条件下，再来解题是不是简单许多.答案：二、解答题【你能审出方法、步骤和注意点吗？能否做到会而不失分吗？】★你能写好解题步骤吗？15．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除去标注的数字外完全相同．甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下球上的数字后放回，乙再摸出一个小球，记下球上的数字，如果两个数字之和为偶数则甲胜，否则为乙胜．（1）求两数字之和为6的概率；（2）这种游戏规则公平吗?试说明理由．解：（1）设“两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为---------------1分（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．---------4分又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果，所以．答：两数字之和为6的概率为．----------------------------------7分（2）这种游戏规则不公平．--------------------------------------------9分设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C，--------------------------10分21则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）．------------------12分所以甲胜的概率P（B）＝，从而乙胜的概率P（C）＝1－＝．由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平．-----------------14分★你能用好三角公式并简单讨论吗？16．在中，、、所对的边长分别是、、.满足.（1）求的大小；（2）求的最大值.解：（1）由正弦定理及得，.在中，，，即.---3分又，，...----------------7分（2）由（1），，即.，，---------------12分.当时，取得最大值----------------------------14分★你能用设而不求法和韦达定理计算吗？17．在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论.解：（1）由题意可得，------------------------------------2分所以，即-------------------------4分即，即动点的轨迹的方程为-----------------5分（2）设直线的方程为,，则.由消整理得，--------------------------6分21则，即.----------------------------------8分.----------------------------------------10分直线---------------------------------13分即所以，直线恒过定点.---------------------------------14分★你能挖掘“隐含条件”吗？18．设数列{}的前n项积为，．数列{}的前n项和为，．若．（1）证明数列{}成等差数列，并求数列{}的通项公式；（2）若对N*恒成立，求实数k的取值范围．（1）证明：由，得且，得，，又，--------------4分所以数列{}以2为首项1为公差的成等差数列；----------------5分，，得，因为也满足，所以数列{}的通项公式；---------8分（2）解：由，得，21，得，所以，--------10分k≥，----------------------------------------12分令，（求的最大值），当n≥4时＜0，的最大值为------------14分而，，所以的最大值为，实数k的取值范围为k≥-------------------------16分★你能看得懂“不规则图形”并不跳步证明吗？19．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，且BC＝2AB＝2AD＝2，侧面PAD为等边三角形，PB＝PC＝（１）求证：PC⊥平面PAB；（２）求四棱锥P－ABCD的体积．(１)证明：在等腰梯形中，在中，在中，又，.(２)解：过点作，垂足为.在中，则PABCD又，.又21在中，20．如上图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC,PD=1,PC=．（１）求证:PD⊥面ABCD；（２）设E是PD的中点，求证：PB∥平面ACE；（３）求三棱锥B—PAC的体积．EPABCD（１）证明:,．又,∴PD⊥面ABCD（２）证明：设AC的中点为O，连EO因为OE为的中位线，所以∥,平面,平面,所以PB∥平面ACE（３）解：ABCDMOPQF21.如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径，，与之间的夹角为.（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.（2）求当为何值时，矩形的面积有最大值？其最大值是多少？(用含R的式子表示)解：（1）由题意可知，点M为的中点，所以.设OM于BC的交点为F，则，..所以，.（2）因为，则.所以当，即时，S有最大值..21故当时，矩形ABCD的面积S有最大值.★你能做到运算不错、有意志做吗？22．已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：当点在椭圆上运动时，恒为定值.解：（1）由题意可知，，而，且.解得，所以，椭圆的方程为.（2）.设，，直线的方程为，令，则，即；直线的方程为，令，则，即；而，即，代入上式，∴，所以为定值.★你能有机利用平几知识来解题吗？23．已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，．（1）求、的值；（2）若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围．解：⑴依题意，：，不妨设设、（）-----2分，21由得，--------------------------------3分，所以------------------------------------------5分，解得，------------------------------------------------6分．⑵由消去得-------------7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或---9分，解得或----------------------------------------------10分动圆与直线没有公共点当且仅当，即-------------------------------------------------------12分解或------------------------------------------13分，得的取值范围为--------14分★你能正确使用切点与交点吗？24．如图，在函数的图像上取4个点，过点作切线（，如果∥，且围成的图形是矩形记为M．（1）证明四边形是平行四边形；（2）问矩形M的短边与长边的比是否有最大值，若有，求与的斜率，若没有，请证明．A1A2A3A4xy0解：（1）设直线的斜率为（，由，得------------------------------2分21由题意，，又点不重合，故，，从而，，---------------------------------------------5分因此，都关于原点对称，故四边形是平行四边形；------------------------------------7分（2）有最大值；------------------------------------------9分设，，即，且设与的距离为，与的距离为（k＞1）-------11分令（x＞1），当时为增函数，当时为减函数，故当，---------------14分因为，因此矩形M的短边与长边的比有最大值，与的斜率分别为和，-----------------------------16分理科加试内容25.二阶矩阵和对应的变换对正方形区域的作用结果如图所示：（1）分别写出一个满足条件的矩阵和；21(2)根据（1）的计算结果，求.解：（1），；（2）26．如图，在极坐标中，，，（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与圆相交所得的弦长为，求圆的极坐标方程.解：方法一：（1）设直线的极坐标方程为：由题意知则即（2）由题意得到，故圆的半径设圆的极坐标方程为：由题意知则即方法二：先转化为直角坐标系下的问题解答，后化成极坐标方程.27．在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，．设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°．21解：因为侧面底面，平面平面，，所以平面，所以，即三直线两两互相垂直。如图，以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，则平面的一个法向量为，…………………2分，所以，设平面的一个法向量为，由，，得，所以…………………6分所以，即注意到，解得．…………………10分28.如图，在三棱柱中，，，且．（1）求棱与BC所成的角的大小；（第22题）BACA1B1C1（2）在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为．【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则，，．，故与棱BC所成的角是．………………………4分BACA1B1C1zxyP（2）P为棱中点，设，则．设平面的法向量为n1，，21则故n1……………………………………………8分而平面的法向量是n2=(1，0，0)，则，解得，即P为棱中点，其坐标为………………10分29.一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分。（1）求拿4次至少得2分的概率；（2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望。解：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则，，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。，，（2）的可能取值为，则；；；；；分布列为P-4-202430．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；⑵假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？⑶设甲连续射击3次，用表示甲击中目标时射击的次数，求的数学期望21.（结果可以用分数表示）解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P（A1）=1-P（）=1-=0123答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为；(2)记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A2，由于各事件相互独立，故P（A2）=×××+×××=，答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是（3）根据题意服从二项分布，（3）方法二：31．已知。（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数。（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。解：（1）∵∴=7或=14。当=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数=；T5的系数=当=14时展开式中二项式系数最大是项是T8，T8的系数=。(2)由=79，可得=12，设顶的系数最大。∵，∴，21∴9.4<<10.4即=10，故展开式中系数最大的项为T11。32．已知，，．（1）当时，试比较与的大小关系；（2）猜想与的大小关系，并给出证明．解：（1）当时，，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以（2）由（１），猜想，下面用数学归纳法给出证明：①当时，不等式显然成立．②假设当时不等式成立，即，那么，当时，，因为，所以．由①、②可知，对一切，都有成立．33．试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn分析：本题中使用到结论(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a证明(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明21①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴②设n=k时成立，即则当n=k+1时，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1也就是说，等式对n=k+1也成立由①②知，an+cn＞2bn对一切自然数n均成立。34．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：＋＋…＋＜；(3)设点列Qn(，)，是否存在一个最小的正实数R，使得对任意n∈N*，点Qn(，)都在以R为半径的圆内(包括圆周上)？若存在，请求出R及该圆的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由已知可得结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．(2)n＝1时，＝＜.当n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.21故＋＋…＋＜＋[＋＋…＋]＝＋(－＋－＋…＋－)＝＋(－)＜＋＝，综上，原不等式成立．(3)因＝，＝，故Qn的坐标为(，)，点Qn无限接近原点，距离原点最远的是Q1(，)，易见点Qn均在直线y＝x上，故存在所求的圆，该圆是以Q1(，)，O(0,0)为直径端点的圆，易得半径R＝，此圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝.35．设f(x)是定义在R上的函数，g(x)＝Cf()x0(1－x)n＋Cf()x1(1－x)n-1＋Cf()x2(1－x)n-2＋…＋Cf()xn(1－x)0。（1）若f(x)＝1，求g(x)；（2）若f(x)＝x，求g(x)。（3）若f(x)＝，求g(x)；解(1)f(x)=1,所以，所以g(x)==1,又无意义，即g(x)=1,且x≠0,x≠1,xR.(2)因为f(x)=x,所以所以g(x)=,因为所以g(x)=0+21==x(1-x+x)n-1=x.所以g(x)=x,且xR,x≠0,x≠1.36．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，．（1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；（2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．解：（1）设，则切线的方程为，所以，，，所以，所以为等腰三角形且为中点，所以，，，得，抛物线方程为（2）设，则处的切线方程为由，同理，所以面积……①设的方程为，则21由，得代入①得：，使面积最小，则得到…………②令，②得，，所以当时单调递减；当单调递增，所以当时，取到最小值为，此时，，所以，即。21
