数学理一、单项选择（10*3＝30分）1、已知，则复数是虚数的充分必要条件是（）A.B.C.D.且2、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A.假设三内角都大于60度B．假设三内角都不大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度3、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为是实数，所以＞0”，你认为这个推理()A．大前题错误B．小前题错误C．推理形式错误D．是正确的4、已知i为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于（ ）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限5、如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．6、函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．7、已知数列为等比数列，且，则的值为（）A．B．C．D．8、设函数在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能为（）-8-\n9、已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A.B.C.D.10、直线与双曲线有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A.B.C.D.二、填空题（4*4＝16分）11、用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步中的值应取12、根据下列4个图形及黑方块的个数的变化规律，现用表示第n个图黑方块总数，则___________，试猜测__________.13、若函数，，则的值为__________.-8-\n14、已知直线与椭圆交于两点，设线段的中点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则等于.三、解答题（共54分）（10分）15、根据要求证明下列各题：（1）用分析法证明：（2）用反证法证明：1，，3不可能是一个等差数列中的三项（10分）16、若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.（10分）17、如图1，在Rt中，，．，将沿折起到的位置，使，如图2.ABCDE图1图2A1BCDE（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的大小．（12分）18、已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）若直线与双曲线有两个不同的交点和,且（其中为原点）,求的取值范围．（12分）19、设函数，函数(其中a∈R，e是自然对数的底数）．(1)当a=0时，求函数的极值；-8-\n(2)若在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．-8-\n参考答案一、单项选择二、填空题11、【答案】512、【答案】41，13、【答案】14、【答案】【解析】三、解答题15、试题解析：（1）要证：；即证：；即证：；即证：；即证：；即证：；而显然成立，且以上各步皆可逆，所以：（其他方法参照给分）（2）假设1，，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第项（），则数列的公差，则，因为，所以，所以为有理数，所以是有理数，这与是无理数相矛盾。故假设不成立，所以1，，3不可能是某等差数列的三项。16、【答案】证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．-8-\n∴··＞abc成立．上式两边同时取常用对数，得lg＞lgabc，∴lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.17、试题解析：（Ⅰ）证明：在△中，.又.由.（Ⅱ）如图,以为坐标原点，建立空间直角坐标系．取A1C的中点F，连DF，则由（1）可知，,从而为平面的法向量，又，设平面的法向量为由平面与平面所成锐二面角的余弦值为考点：线面垂直的判定与性质、空间向量的应用.-8-\n18、试题解析：（1）解：设双曲线的方程为,,故双曲线方程为．（2）解：将代入得由得且设,则由得=,得又，,即19、【答案】（1）函数在处取得极大值，无极小值；（2）.（1）函数当x<1时，；当x>1时，,故函数在上单调递增，在上单调递减.∴函数在处取得极大值.函数无极小值.（2）由题在上恒成立，当则，若则恒成立，则.不等式恒成立等价于在上恒成立，令则又令则.-8-\n①当时，则在上单调递减，∴∴在上单减，∴即在上恒成立②当时，（i）当，即时，则在上单调递减，∴∴在上单调递减，∴此时在上恒成立；（ii）若，即时，若时，则在上单调递增，-8-
