2022届高三级第一学期第一次月考理科数学试卷考试时间：120分钟；命题人：高三理数教研组第I卷（共60分）一、选择题1设复数满足，则z的共轭复数是（）（A）1-2i（B）-1+2i（C）2+i（D）-1-2i2．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，则在30次独立重复试验中成功的次数X的数学期望是A．B．C．10D．203．如图，把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是A.27 B.28 C.29 D.304．设等差数列的前项和为，若，则的值等于（）(A)(B)(C)(D)5．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为（）A．1B．C．D．6．已知点满足方程，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A.B.C.D.7．设等比数列的公比，前n项和为，则（）-10-\nA．2B．4C．D．8．已知点A(3,4)，F是抛物线y2＝8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|AM|＋|MF|最小时，M点坐标是( )A．(0,0)B．(3,2)C．(2,4)D．(3，－2)9．已知椭圆C的方程为(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )A．2B．2 C．8D．210．点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，则圆心M的轨迹方程为A、 B、＋＝1 C、 D、11．已知两点，，若直线上至少存在三个点，使得△是直角三角形，则实数的取值范围是（A） （B）（C） （D）12．如图，已知双曲线的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q．若∠PAQ=60°且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．-10-\n第II卷（非选择题90分）二、填空题13．若二项式（）6的展开式中的常数项为m,则= 14．已知曲线存在垂直于轴的切线，且函数在上单调递减，则的范围为．15．抛物线的焦点恰好是双曲线：的两焦点间线段的一个三等分点，则双曲线的渐近线方程为___________．16．在数列中，为它的前项和，已知，且数列是等比数列，则=__．三、解答题17．（本小题满分12分）在数列和中，已知.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.18．（本小题满分12分）-10-\n对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：日车流量x频率0．050．250．350．250．100将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）已知如图，四边形是直角梯形，，，平面，，点、、分别是、、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．-10-\n21．设函数是自然对数的底数）（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于的方程在区间上恰有两相异实根，求的取值范围；22．平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．(Ⅰ)求直线的极坐标方程；(Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求-10-\n2022届高三级第一学期第一次月考理科数学答案和评分标准一、DBBCB CCCBB CD ；二、13、；14．；15．；16．2．试题分析：由题意，成功次数服从二项分布，则每次成功的概率为，由二项分布的期望公式可得30次独立重复试验中成功的次数X的数学期望是考点：二项分布及其期望3．原来三角形数是从l开始的连续自然数的和．第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．6．已知圆的圆心坐标为，圆的半径为，设切线长为，那么，当时，最小，最小值为，所以切线长的最小值是.9．根据已知条件c＝，则点(，)在椭圆(m＞0)上，∴=1，可得m＝2.11．分析：当时，M，N，P三点共线，不能构成三角形，故，由题意，由于直径对的圆周角是直径，可知只要直线和以MN为直径的圆有公共点即可，此时，故选C13．【答案试题分析：二项式（）6的展开式中的常数项为,所以＝-10-\n14．分析：曲线存在垂直于轴的切线，在时有解，因此，此时，得，函数在上单调递减，则，恒成立，即，函数在区间上单调递增，最大值为，满足，，因此.15．分析：根据题意可知，抛物线的焦点坐标为，是双曲线的两焦点间线段的三等分点，可知，根据，可得，从而有双曲线的渐近线方程为．16．17．解：（1）∵∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，∴.4分 ∵∴.5分（2）由（1）知，，（n）∴. 6分∴，①于是② 9分①②得=.11分∴.12分.18．解：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则P（A1）＝0．35＋0．25＋0．10＝0．70，P（A2）＝0．05， 4分-10-\n所以P（B）＝0．7×0．7×0．05×2＝0．049．（6分）（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为，， 8分，．10分X的分布列为X0123P0．0270．1890．4410．343因为X～B（3，0．7），所以期望E（X）＝3×0．7＝2．1．（12分）19．（Ⅰ）证明：∵点、、分别是、、的中点，∴∥，∥. 1分∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面. 3分∵，∴平面∥平面∵平面，∴∥平面． 5分（Ⅱ）解：根据条件，直线，，两两垂直，分别以直线，，为建立如图所示的空间直角坐标系． 5分设，∵，∴∴.7分设分别是平面和平面的一个法向量，∴，∴，9分即，．不妨取，得．10分-10-\n∴．∵二面角是锐角，∴二面角的余弦值是． 12分20．解： (1)因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为1，所以a2－(1－a2)＝2，解得a2＝.故椭圆E的方程为＋＝1.3分(2)证明 设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.4分由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝，直线F2P的斜率kF2P＝. 故直线F2P的方程为y＝(x－c). 7分当x＝0时，y＝，即点Q坐标为.直线F1Q的斜率为kF1Q＝. 9分由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.化简得y＝x－(2a2－1)． ① 11分将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上.12分21．解：（1）2分当时当时的递增区间为递减区间为4分（2）由方程得5分令则7分当时，递减当时，递增9分又12分22．解：(Ⅰ)消去参数得直线的直角坐标方程为：.2分-10-\n由代入得，，解得.(也可以是：或.)5分(Ⅱ)由得，，设，，则.10分-10-
