2022滁州市高高级中学联谊会高三第一学期期末联考数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设是虚数单位，复数满足，则的共轭复数（）A．B．C．D．2、七位裁判各自对一名跳水运动员打分后，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，关于剩余分数的说法一定正确的是（）A．众数不变B．方差不变C．平均值不变D．中位数不变3、函数（，）的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．4、已知、满足约束条件，且的最大值为，则（）A．B．C．D．5、以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为，则圆上的点到直线的距离的最大值为（）A．B．C．D．6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．7、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．8\nD．8、“”是“直线与函数的图象有且仅有一个交点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9、若函数满足且，则（）A．B．C．D．10、将甲、乙等名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A．种B．种C．种D．种二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、的展开式的常数项是．12、设是等差数列的前项和，且，则．13、过焦点为的抛物线上一点向其准线作垂线，垂足为，若，则．14、已知、是单位向量，其夹角为，若实数、满足，则的取值范围是．15、在三棱柱中，为正三角形，底面，是的中点，是的中点．下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①平面；②平面平面；③平面截该三棱柱所得大小两部分的体积比为；④若该三棱柱有内切球，则；⑤若上有唯一点，使得，则．三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）在中，角，，所对边的长分别为，，，且．证明：；若，求角的值．8\n17、（本小题满分12分）如图所示的是某母婴用品专卖店根据以往销售奶粉的销售记录绘制的日销售量的频率分布直方图．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．估计日销售量的平均值；求未来连续三天里，有两天日销售量不低于袋且另一天销售量低于袋的概率；记为未来三天里日销售量不低于袋的天数，求的分布列和均值（数学期望）．18、（本小题满分12分）如图，在四棱台中，底面，四边形为正方形，，，平面．证明：为的中点；求二面角的余弦值．19、（本小题满分13分）设函数（为自然对数的底数）．当时，求的最大值；当时，恒成立，证明：．8\n20、（本小题满分13分）已知椭圆（）的离心率为，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．求椭圆的方程；设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．请问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分13分）设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．证明：数列为等比数列；设，证明：．8\n2022滁州市高高级中学联谊会高三第一学期期末联考数学（理科）参考答案一、选择题：本题有10小题，每小题5分，共50分。题号12345678910答案ADBADBCCBC二、填空题：本题有5小题，每小题5分，共25分。11．12．13．14．15．①②④⑤三、解答题：本题有6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（16）解析：（Ⅰ）∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－(A＋B)，sinC＝sin(A＋B)＝2sin(A－B)，即sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB－2cosAsinB，sinAcosB＝3cosAsinB，∴tanA＝3tanB．（6分）（Ⅱ）解法一：由正、余弦定理及sinAcosB＝3cosAsinB，得，化简得，又c=2b，故A＝60°.（12分）解法二：由正弦定理知sinC＝2sinB，则2sin(A－B)＝2sinB，A＝2B，代入tanA＝3tanB中整理得＝3tanB，解得tanB＝，B＝30°，A＝60°.（12分）（17）解析：（Ⅰ）估计平均值为25×0.15＋75×0.25＋125×0.3＋175×0.2＋225×0.1＝117.5.（3分）（Ⅱ）不低于100袋的概率为0.6，低于50袋的概率为0.15，设事件A表示有两天日销售量不低于100袋且另一天销售量低于50袋，则P(A)＝C(0.6)2×0.15＝0.162．（6分）（Ⅲ）不低于150袋的概率为0.3，X~B(3，0.3)，P(X＝0)＝C(0.7)3＝0.343，P(X＝1)＝C(0.7)2×0.3＝0.441，P(X＝2)＝C×0.7×0.32＝0.189，P(X＝3)＝C×0.33＝0.027．X的分布列为：X01238\nP0.3430.4410.1890.027均值EX＝3×0.3＝0.9．（12分）（18）解析：（Ⅰ）连接AD1，则D1C1∥DC∥AB，∴A、E、C1、D1四点共面，∵C1E∥平面ADD1A1，则C1E∥AD1，∴四边形AEC1D1为平行四边形，∴AE＝D1C1＝1，∴E为AB的中点．（6分）（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(2，0，0)，E(2，1，0)，C1(0，1，2)，＝(2，1，0)，＝(0，1，2)，＝(0，1，0)，＝(－2，1，2)，ABCDA1B1C1D1Eyxz设平面DEC1的法向量为m＝(x，y，z)，则，令x＝1，得m＝(1，－2，1)．设平面AEC1的法向量为n＝(a，b，c)，则，令a＝1，得n＝(1，0，1).cos<m，n>＝＝故二面角A－C1E－D的余弦值为．（12分）（19）解析：（Ⅰ）当a＝1时，f′(x)＝－ex＋(1－x)ex＝－xex．当x＞0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当x＜0时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，0)上单调递增．故f(x)在x＝0处取得最大值f(0)＝0．（5分）（Ⅱ）①当x∈(－∞，0)时，＜1⇔(a－x)ex＞x＋1即a＞x＋，令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－＞0，则g(x)在(－∞，0)上是增函数，g(x)＜g(0)＝1，a≥1．②当x∈(0，＋∞)时，＜1⇔(a－x)ex＜x＋1，a＜x＋，由①知g′(x)＝，令h(x)＝ex－x，h′(x)＝ex－1＞0，则h(x)＞h(0)＝1，g′(x)＞0，g(x)＞g(0)＝1，a≤1.故a＝1．（13分）8\n（18）解析：(Ⅰ)由已知得，（4分）（Ⅱ）假设在x轴上存在定点满足条件，设，则由,得.∴,即，可知.此时,∴（8分）,,=，.∴存在点,使得.（13分）（21）解析：（Ⅰ）当n＝1时，T1＝S1＝a1，则2a1＝4a1－2，a1＝1．当n＝2时，2T2＝2(a1＋a1＋a2)＝4(a1＋a2)－6，a2＝3．当n≥2时，2Tn －1＝4Sn－1－[(n－1)2＋(n－1)]，2Sn＝2Tn－2Tn－1＝4Sn－(n2＋n)－4Sn －1＋(n－1)2＋(n－1)，∴Sn＝2Sn－1＋n，则Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1＝2an＋1，an＋1＋1＝2(an＋1)，当n＝1时也符合，故数列{an＋1}是等比数列．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n，8\nb1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋，令T＝＋＋＋…＋，则T＝＋＋…＋，两式相减得T＝1＋＋＋…＋－＝－＜，T＜3，∴b1＋b2＋…＋bn＜3．（13分）8
