安徽省合肥市第一中学2022-2022学年高二数学上学期段二（期中）试题理（满分：150分；时间：120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1.下列结论中正确的是（）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线2.两直线与的位置关系为（）A.平行B.垂直C.平行或重合D.相交但不垂直3.已知,为异面直线，平面，平面，直线满足，，，，则（）A.且B.且C.与相交，且交线垂直于D.与相交，且交线平行于4.已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖，则圆的方程为（）-11-\nA.B.C.D.5.右图是一个几何体的三视图（侧试图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（）A.B.C.D.6.已知圆的方程为，设圆中过点的最长弦与最短弦分别为、，则直线与的斜率之和为（）A.-1B.0C.1D.-27.已知一个正方体的所有棱与空间的某一平面成角为，则的值为（）A.B.C.D.8.已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（）A.3B.C.D.9.已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为（）A.2B.C.D.310.已知圆和点，，若点在圆上且的面积为，则满足条件的点的个数是（）A.1B.2C.3D.411.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（）-11-\nA.B.C.D.12.如图，点为圆上的一点，点，为轴上的两点，是以点为顶点的等腰三角形，直线，交圆于，两点，直线交轴于点，则的值为（）A.B.C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13.设直线的倾斜角为，则_______.14.过点的直线将圆分成两段弧，当优弧所对的圆心角最大时，直线的斜率_______.15.如图，在直角三角形中，直角边的长为4，为斜边，，现将三角形绕旋转一周，若形成的几何体的体积为，形成的体积为，则_______.16.已知正四面体的棱长为9，点是三角形内（含边界）的一个动点满足到面、面、面的距离成等差数列，则点到面的距离最大值为______.三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22，每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程）17.如图，在梯形中，，，是线段上的两点，且，，，，，.现将，分别沿，折起，使，两点重合于点，得到多面体.（1）求证：平面平面；-11-\n（1）求多面体的体积.18.已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线垂直，求直线的方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的方程.19.如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的正弦值；（2）求二面角的平面角的正切值.-11-\n20.已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，． （1）求圆的圆心坐标及动直线的斜率的取值范围； （2）求线段的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 21.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，．（1）求证：；（2）是侧棱上一点，记，当平面时，求实数的值．-11-\n22.在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，是线段上的动点，，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于、两点．（1）若，求直线的方程；（2）若是使恒成立的最小正整数，求三角形的面积的最小值．合肥一中2022-2022学年第一学期高二年级段二考试数学（理）试卷参考答案一、选择题123456789101112DCDDABBCACCB二、填空题13.14.15.16.三、解答题-11-\n17.（1）证明：因为，，所以四边形为矩形，由，，得，由，，得，所以，在中，有，所以，又因为，，得平面，所以 ，所以平面，即平面平面.（2）解：在平面中，过点作于点，则， 因为平面平面，得平面，.18.解：（1）联立方程组，解得，直线和的交点，又直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为，化为一般式可得.（2）利用圆系方程或者设圆方程为标准方程，最终求得圆的方程为.19.解：（1）取的中点，连接、，则.是异面直线与所成的角，，，是的中点，，，；，-11-\n，异面直线与所成的角的余弦值是.（2）作，面，是二面角，同理可知是二面角，为二面角；已知，，设二面角的平面角为，则.20.解：（1）圆，整理得其标准方程为：，圆的圆心坐标为.设直线的方程为，，，联立方程组，消去可得：，由，可得，所以.（2）由韦达定理，可得，-11-\n线段的中点的轨迹的参数方程为，其中，线段的中点的轨迹的方程为：，其中.（2）结论：当时，直线与曲线只有一个交点.理由如下：联立方程组，，消去可得：，令，解得，又轨迹的端点与点决定的直线斜率为，当直线与曲线只有一个交点时，的取值范围为.21.（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得.，.平面平面，交线为，平面，.（6分）（2）解：作，交于点，连接，-11-\n由可知，，，四点共面，连接，所以由（1）的结论可知，平面，当且仅当.在中，由，，，余弦定理求得，在中，，因此.（12分）22.解：（1）由题意可知，圆的直径为，所以圆方程为：，（2分），设方程为：，则，解得，，（3分）当时，直线与轴无交点，不合题意，舍去.所以，时直线的方程为.（6分）（2）设，由点在线段上，得，即.由，得.(8分）依题意知，线段与圆至多有一个公共点，故，解得或.因为是使恒成立的最小正整数，所以.所以圆方程为：.（1）当直线时，直线的方程为，此时，；（10分）-11-\n-11-
