乐山市高中2022届第二次调查研究考试数学（理工农医类）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.参考公式：参考公式：如果事件，互斥，那么如果事件，相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率台体的体积公式：其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高.柱体的体积公式：其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.锥体的体积公式：其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.球的表面积公式：球的体积公式：其中表示球的半径.第一部分（选择题共50分）注意事项：1．选择题必须用铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2．第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设全集为，函数的定义域为M，则为2、展开式中的常数项为3、已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为12344、已知向量，，且∥，则的值为5、已知函数是奇函数，当时，,且，则11的值为6、已知函数，其中实数随机选自区间．则对任意的，的概率是7、如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，则的值为8、如果执行如图的框图，输入，则输出的数等于9、已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，，B为y轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，B与关于点E对称，在轴上的投影为，则的值为10、函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使得f(x)在[a，b]上的值域为，则称函数f(x)为“成功函数”．若函数f(x)＝logc(cx＋t)(c>0，c≠1)是“成功函数”，则t的取值范围为11乐山市高中2022届第二次调查研究考试数学（理工农医类）第二部分（非选择题100分）注意事项：1．考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2．本部分共11小题，共100分.二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11、复数的虚部是_____________.12、已知为锐角，向量，满足.则=________.13、已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数=___________.14、已知四面体的侧面展开图如右图所示，则其体积为________.15、记表示不超过实数的最大整数.设集合，.则所表示的平面区域的面积为____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.16.（本小题满分12分）已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求△的面积.17.（本小题共12分）下图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择2月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设是此人停留期间空气质量优良的天数,求的分布列与数学期望.1118.（本小题共12分）如图，直三棱柱中，，分别是的中点.（1）求证平面；（2）求二面角的大小的余弦值.19.（本小题共12分）设等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且．（1）求数列,的通项公式；（2）设，求数列的前项和．20.（本小题共13分）已知为椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，且有.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于两点，过与平行的直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的最大值.21.（本小题共14分）已知函数在处的切线的斜率为1．（为无理数，）（1）求的值及的最小值；（2）当时，有成立，求的取值范围；11（3）求证：．（参考数据：）乐山市高中2022届第二次调查研究考试数学参考答案及评分意见（理工农医类）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、提示：1、由题值，，故选.2、，由题得，，常数项为，故选.3、由题得，准线为，在抛物线上，，故选.4、∥，，，，故选.5、为奇函数，则，，（舍去），故选.6、以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建坐标系令正方体的棱长为2，则，，，，，，，，故选.7、由题可知，该程序框图的功能是计算，现在输入，由控制循环的条件知，,再循环一次，，此时不成立，故输出，故选.8、由题，对,得，且，即且，即11，所求的概率为，故选.9、如图，由在轴上的投影为，知，又，，，又，，，，故选.10、无论还是，都是上的单调增函数，故应有，则问题可转化为求，即，即在上有两个不相等的实数根的问题，令，则可化为，问题进一步可转化为求函数与的图象有两个交点的问题，结合图形可得.故选故选.二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）11、；12、；13、；14、；15、.提示：11、，的虚部为.12、，即，为锐角，，.13、为等边三角形，到的距离，，.14、将展开图围成一个三棱锥如图示，其中三侧棱均为，底面是11的等腰直角三角形，且，，，底面射影为中点，，.15、当时，，于是，；当时，，于是或或，；当时，，于是，；所表示的平面区域由五个单位正方形和第三象限的单位圆构成，其面积为.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16、解：（1）∵的最大值为2，且，∴.……………1分∵的最小正周期为，∴，得.……………2分∴.……………3分（2）∵，……………4分，……………5分∴.∴.……………8分∴.………10分∴.……………11分∴△的面积为.……………12分17、解：设表示事件“此人于3月日到达该市”，根据题意，，且，……………4分（1）设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则,所以.………………6分11（2）由题意可知，的所有可能取值为0,1,2，且，，，………………10分则的分布列为012故的数学期望值为……………12分18、（1）证明：取的中点，连结、，∥，∥，，=，平面∥平面，……………4分平面,平面.……………6分（2）解：建立如图所示的直角坐标系：设,则，,,,………7分则,，，………………8分设平面的法向量为，则,即，………………9分令，则，………………10分又面，则面的法向量为,，二面角的余弦值.………………12分1119、解：（1）由题意，，得．所以……………2分，，…………3分，两式相减，得…………5分则数列为等比数列，．……………6分（2）由题得．当为偶数时，=．……………8分当为奇数时，……………10分……………12分20、解：（1）设椭圆的标准方程为由已知得，……………………2分又点在椭圆上，椭圆的标准方程为……………………5分（2）由题意可知，四边形为平行四边形=4设直线的方程为，且由得11……………………7分=+====…………………………9分令，则==，………11分又在上单调递增的最大值为所以的最大值为6.………………………………13分21、解：（1），由已知，得，∴a＝1．…………1分此时，，∴当时，；当时，．∴当x＝0时，f(x)取得极小值，该极小值即为最小值，∴f(x)min＝f(0)＝0．……………4分（2）记，,设…………5分①当时，，，，，时满足题意；…………7分②当时，，得,当，，在此区间上是减函数，,∴在此区间上递减，不合题意.综合得的取值范围为.…………………9分（3）记，，令，解得，11当时函数有最大值，且最大值为，………………10分，,…………11分，又，，即.………………14分11
