四川省2022年上学期阆中中学高三数学理开学考试试题答案一.选择题（每题5分，共60分）123456789101112BABCDDABDDCD二.填空题（每题5分，共20分）13.14.15.16.017.解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，所以a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，an＝2n－1，所以bn＝(2n－1)×2n－1，所以Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，①2Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②①－②，得－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n＝1＋2×－(2n－1)×2n＝(3－2n)×2n－3，所以Tn＝(2n－3)×2n＋3.18.[解] (1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为×100%＝72%；5/5\n乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为×100%＝64%.(2)完成的2×2列联表如下：甲厂乙厂总计优质品360320680非优质品140180320总计5005001000由表中数据计算得，K2＝≈7.353＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.19.解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C(0,2,0)，A1(1，0,1)，D1(0,0,1)．设E(1，y0,0)(0≤y0≤2)．(1)证明：因为＝(1，y0，－1)，＝(－1,0，－1)，则·＝(1，y0，－1)·(－1,0，－1)＝0，所以⊥，即D1E⊥A1D.(2)假设在棱AB上存在点E，使二面角D1ECD的平面角为30°.因为＝(－1,2－y0,0)，＝(0,2，－1)，设平面D1EC的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则即5/5\n取y＝1，则n1＝(2－y0,1,2)是平面D1EC的一个法向量．易知平面ECD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)，要使二面角D1ECD的平面角为30°，则cos30°＝|cosn1，n2|＝＝＝，解得y0＝2－或y0＝2＋(不合题意，舍去)．所以当AE＝2－时，二面角D1ECD的平面角为30°.20.解：(1)由＝，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2，将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，故所求椭圆方程为＋＝1.(2)由(1)可知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0，则有y1＋y2＝，y1y2＝，r0＝，＝r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|)＝r0·4a＝×8×＝，5/5\n所以＝，解得t2＝1，因为所求圆与直线l相切，所以半径r＝＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.21.(1)因为f′(x)＝－，当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f(x)的极大值点为x＝1，所以即0＜a＜1，故所求实数a的取值范围是(0,1)．(2)方程f(x)＝x2－2x＋k有实数解，即f(x)－x2＋2x＝k有实数解．设g(x)＝f(x)－x2＋2x，则g′(x)＝2(1－x)－.接下来，需求函数g(x)的单调区间，所以需解不等式g′(x)≥0及g′(x)≤0，因而需解方程g′(x)＝0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解．因为g′(1)＝0，且当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(1)＝2.当x→0时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→－∞，所以函数g(x)的值域是(－∞，2]，所以所求实数k的取值范围是(－∞，2]．22.解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0.由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R).(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，∴＋＝＝＝.5/5\n23.解：(1)当a＝1时，f(x)＝当x＜－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x＜－1；当－1≤x≤2时，显然满足题意；当x＞2时，由－2x＋6≥0，解得2＜x≤3，故f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org5/5
