赤峰二中2022级高三上学期第三次月考数学（理）试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（）A．B．C．D．4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A.B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．B．C．D．侧视图正视图俯视图2226将甲、乙等名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同一学校的分配方案共有（）-11-\nA．种B．种C．种D．种7．已知变量满足：的最大值为（）A．B．C．2D．48已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（）A．B．C．或D．或9.的图象如图所示，为得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10.设数列的前n项和为.且，则=（）A．B．C．D．11.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.12．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．-11-\n第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则展开式的各项系数和=_________.14．如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机取一点,则它落到阴影部分的概率为_________.15.已知M是△ABC内的一点（不含边界），且,若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为，记，则的最小值为_________.16已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)已知，，记函数（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设的角所对的边分别为，若a＝2csinA,c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．-11-\n18.(本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数为4次．（1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了4次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为，求的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD，EF//AB，,AD=2,AB=AF=2EF=l，点P在棱DF上．（1）若P为DF的中点，求证：BF//平面ACP（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．20(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．直线：与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果，点关于直线的对称点在轴上，求的值．21.(本小题满分12分)-11-\n设函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）试讨论函数极值点的个数；（Ⅲ）求证：对任意的，不等式恒成立．考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.（1）求长；（2）当⊥时，求证：.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.-11-\n24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲.已知，的最小值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）解关于的不等式.-11-\n第三次模拟考试数学（理）参考答案1～12ABCCBCDCDBAA13.14.15.3616.4517【解析】（1）由题意，得,当取最大值时，即，此时，所以的取值集合为．（2）由a＝2csinA及正弦定理得，sinA＝2cosCsinA.∵sinA≠0，∴cosC＝，∴C＝.∵△ABC面积为，∴absin＝，即ab＝6.①∵c＝，∴由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7.②由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.18【解析】（1）∵∴甲运动员的射击水平平稳（2）当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率为当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，此时的概率为∴甲的成绩大于乙的成绩的概率为依题意，的取值分别是0，1，2，3,4，且～∴-11-\n(运算式子形式表示也可)01234P因此，的分布列如下：∴19．解析：（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．因为P是DF中点，O为矩形ABCD对角线的交点，所以OP为三角形BDF中位线，所以BF//OP，因为BF平面ACP，OP平面ACP，所以BF//平面ACP．(II)因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．所以，，，．因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．设P点坐标为，-11-\n在平面APC中，，，所以平面APC的法向量为，所以，解得，或（舍）．此时．20.解：（Ⅰ）抛物线，所以焦点坐标为，即，所以．又因为，所以．所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，因为，，所以，，所以，所以．由，得（判别式），得，，即．设，则中点坐标为，因为，关于直线对称，所以的中点在直线上，所以，解得，即．由于，关于直线对称，所以，所在直线与直线垂直，-11-\n所以，解得．21解：（1）当时，，则，曲线在原点处的切线方程为（２），令当时，，所以０，则０，所以在上为增函数，所以无极值点；当时，，所以０，则０，所以在上为增函数，所以无极值点；当时，，令０，则，当时，，，此时有２个极值点；当时，，，此时有１个极值点；综上：当时，无极值点；当时，有２个极值点；当时，有１个极值点；8（３）对于函数，令函数则，，所以函数在上单调递增，又时，恒有即恒成立.取，则有恒成立，即不等式恒成立.22、解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCA=∠ODB．∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，-11-\n∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO．∴AD=AO23解：(1)设P(x，y)，则由条件知M.由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(α为参数)．(5分)(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.(10分)24【解析】（Ⅰ），①而②③当且仅当时，①式等号成立；当且仅当时，②式等号成立；则当且仅当时，③式等号成立，即取得最小值.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，则，即，，解得原不等式的解集为.-11-
