内蒙古大板三中2022-2022学年高二数学上学期第一次（10月）月考试题理时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．命题“x∈R,2x4－x2＋1<0”的否定是( )A．不存在x∈R,2x4－x2＋1<0B．x0∈R,2x－x＋1<0C．x0∈R,2x－x＋1≥0D．对x∈R,2x4－x2＋1≥02．抛物线的准线方程是，则的值为（）A．B．C．8D．3．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<，给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③p；④q.其中真命题的个数是( )．A．1B．2C．3D．44.若平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与夹角的余弦是A.-B.C.D.5、“”是“为椭圆方程”是()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是（）（A）（B）（C）（D）7.正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为，则点到平面的距离为（）9\nA.B.C.D.8.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是（）（A）（x≠0）（B）（x≠0）（C）（x≠0）（D）（x≠0）9．三棱锥A—BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于( )．A．－2B．2C．－2D．210、已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.若点满足且，则的最小值为()A.3B.C.D.111、如图所示，在直三棱柱中，，，点分别是棱的中点，当二面角为时，直线和所成的角为（）A.B.C.D.12、已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过点9\n且垂直于轴的直线与双曲线相交于不同的两点，，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13、命题“∃x0∈R,2x－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．15.过双曲线的右焦点作轴的垂线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为16．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1.其中真命题的是______．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.（10分）（１）求焦点在x轴上,虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程；（2）求经过点的抛物线的标准方程；18.（12分）在四棱锥中，底面为菱形，，，且，，是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线和平面所成的角的正弦值．9\n19.(12分)命题:；命题:方程表示焦点在轴上的椭圆.若“且”是假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围.20.（本题满分12分）已知平面内一动点P在x轴的上方，点P到F（0.1）的距离与它到y轴的距离的差等于1．（1）求动点P轨迹C的方程；（2）设A，B为曲线C上两点，A与B的横坐标之和为4．①求直线AB的斜率；②设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．21、如图，四棱锥中，平面底面，，.（1）证明:；（2）若，与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.9\n22、已知椭圆的右焦点为F（1，0），左顶点为A（﹣2，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）M，N两点．试判断直线MN与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．9\n2022-2022学年度高二上学期第一次月考卷答案选择题CBBDBADBACBA13.14.915.16.④17.（１）解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1.由题意，得解得，．∴．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．（2）解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：或在第一种情形下，求得抛物线方程为：；在第二种情形下，求得抛物线方程为：18.（Ⅰ）连，交于点，连接∵底面为菱形∴为中点，又∵是的中点∴是△的中位线，∴又∵∴（Ⅱ）（2）以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz（略写）求得平面PBC的法向量，∴∴直线和平面所成的角的正弦值为9\n19.命题:为真，命题为真，即方程是焦点在轴上的椭圆，又“且”是假命题，“或”是真命题是真命题且是假命题，或是假命题且是真命题或的取值范围是.20.【答案】解：（I）设动点P的坐标为（x，y），由题意为﹣|y|=1因为y＞0，化简得：x2=4y，所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y，y＞0，（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠x2，x12=4y1，x22=4y2，又x1+x2=4，∴直线AB的斜率k===1，②依题意设C在M处的切线方程可设为y=x+t，联立，可得x2﹣4x﹣4t=0，∴△=16+16t=0得t=﹣1，此时x=2，∴点M的坐标为（2，1），设AB的方程为y=x+m，故线段AB的中点N坐标为（2，2+m），∴|MN|=|1+m|，联立消去整理得：x2﹣4x﹣4m=0，△1=16+16m＞0，m＞﹣1，x1+x2=4，x1？x2=﹣4m，∴|AB|=|x2﹣x1|=？=4，由题设知：|AB|=2|MN|，即4=2|1+m|，解得：m=7∴直线AB的方程为：y=x+79\n21.（1）如图，连接交于点.∵,即为等腰三角形，又平分，故,∵平面底面，平面底面，∴平面,∵平面,∴.（2）作于点，则底面,,以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.，而,得,又，故.设，则由，得，而，由，得，则,所以.设平面的法向量为，平面的法向量为，由得可取，由得可取，从而法向量的夹角的余弦值为.由图可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为.22.【答案】解：（1）根据题意，椭圆的右焦点为F（1，0），左顶点为A（﹣2，0），则c=1，a=2，9\n则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆E的方程为．（2）根据题意，①当直线MN与x轴垂直时，直线AM的方程为y=x+2，联立得7x2+16x+4=0，解得．此时直线MN的方程为．直线MN与x轴的交点为．②当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为y=kx+m．联立得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，且△=（8km）2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3．而，由题意知，，即，解得或m=2k（舍去）．当时，满足m2＜4k2+3．直线MN的方程为，此时与x轴的交点为．故直线MN与x轴的交点是定点，坐标为．9
