第3章投影与视图一、选择题(每题3分，共30分)1．下列立体图形中，俯视图是正方形的是( )2．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是( )3．如图所示的几何体，其左视图为( )4．小明同学拿着一个如图所示三角形木架在太阳光下玩，他不断变换三角形木架的位置，他说他发现了三角形木架在地上出现过的影子有四种：①点；②线段；③三角形；④四边形．你认为小明的说法中正确的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图是一个由多个相同的小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图是( )11
6．【教材P100习题T5变式】如图，方桌正上方的灯泡(看成一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)，已知方桌边长1.2m，桌面离地面1.2m，灯泡离地面3.6m，则地面上阴影部分的面积为( )A．1.8m2B．3.6m2C．3.24m2D．12.96m27．【教材P103例2改编】若将半径为12cm的半圆形纸片拼成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是( ) A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm8．如图所示是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则组成这个几何体的小立方体的个数可能是( )A．5个或6个B．5个或7个C．4个、5个或6个D．5个、6个或7个9．在小明家所在的小区内有一条笔直的路，路边有一盏路灯，一天晚上，小明行走在这条路上，如图，他从点A走到点B的过程中，反映他在灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系的图象大致是( )11
10．某数学课外活动小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一名身高为1.5m的同学的影长为1.35m．由于大树靠近一幢建筑物，因此树影的一部分落在建筑物上，如图，他们测得地面上的影长BD为3.6m，建筑物上的影长CD为1.8m，则树的高度为( )A．5.4mB．5.8mC．5.22mD．6.4m二、填空题(每题3分，共24分)11．在同一时刻，个子低的小颖比个子高的小明身影长，那么他们此刻是站在__________光下．(填“灯”或“太阳”) 12．如图所示的这两个图形的正投影分别是________________(不用画图，文字叙述即可)．13．学校小卖部的货架上摆放着某品牌的方便面，它们的三视图如图所示，则货架上的方便面至少有________盒．14．一个长方体的主视图和左视图如图所示(单位：厘米)，则其俯视图的面积是________平方厘米．11
15．如图所示，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要________cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要________cm.16．如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上数字之和的最小值是________．17．【教材P116复习题T6改编】如图是一个几何体的三视图，这个几何体是________，它的侧面积是________．(结果保留π)18．【教材P117复习题T8变式】如图所示，两盏路灯相距20m，一天晚上，当小刚从路灯甲走到距路灯乙底部4m处时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身高为1.6m，那么路灯甲的高为________m.三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．在一幢八层楼的楼顶有一个大灯泡O，该楼房旁边的楼房A和旗杆C11
在灯泡下的影子如图所示，试确定灯泡O的位置，再作出小树E在灯泡下的影子FG.(不写作法，保留作图痕迹) 20．(1)用5个棱长为1cm的小立方块搭成的几何体如图所示，在网格中画出它的三视图．(2)在实物图中，再添加若干个小立方块，使得它的左视图和俯视图不变，那么最多可添加________个小立方块．21．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在阳光的垂直照射下，点C的投影落在斜边AB上的点D处，连接CD.11
(1)试探究线段AC，AB和AD之间的关系，并说明理由．(2)线段BC，BA和BD之间也有类似的关系吗？试证明．22．【教材P109说一说T2拓展】某工厂要制作一批茶叶罐，设计者给出了如图所示的茶叶罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个茶叶罐所需钢板的面积．(单位：mm)23．【教材P117复习题T10(2)变式】如图，圆锥的底面圆半径为10cm，高为10cm.(1)求圆锥的表面积．(2)若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上的点M处，且SM＝3AM，求蚂蚁所走的最短路径的长．11
24．某数学兴趣小组的同学利用树影测量树高，如图，同学们已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°角．(1)求树AB的高．(2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面的夹角保持不变，求树影的最大长度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)答案一、1．B 2．B 3．D4．C 点拨：当他把三角形木架与光线不平行放置时，三角形木架在地上的影子为三角形；当他把三角形木架与光线平行放置时，三角形木架在地上的影子为线段．5．B 6．C 7．D11
8．D 点拨：由俯视图易得，最底层有4个小立方体；由左视图易得，第二层最多有3个小立方体，最少有1个小立方体．那么组成这个几何体的小立方体的个数可能是5个、6个或7个．故选D.9．C10．B 点拨：如图，分别延长AC，BD交于点E.∵BD＝3.6m，CD＝1.8m，且同一时刻测得一名身高为1.5m的同学的影长为1.35m，∴＝，即＝.∴DE＝1.62m.∵CD∥AB，∴＝，即＝.∴AB＝5.8m．即树的高度为5.8m.二、11．灯 12．圆，长方形13．7 点拨：当货架上的方便面盒数最少时，如图所示，图中数字表示该位置叠放的方便面盒数，因此至少有7盒．14．6 点拨：其俯视图如图(单位：厘米)．15．10；2 点拨：将长方体的侧面展开得到一个矩形，长为3＋1＋3＋1＝8(cm)，宽为6cm，则AB＝＝10(cm)．如果绕n圈，则将n个上述的矩形并排放，得到长为8ncm，宽为611
cm的矩形，则对角线的长为＝＝2(cm)，这就是所用细线的最短长度．16．6 点拨：由正方体展开图的特点可知，2和6所在的面是相对的两个面，3和4所在的面是相对的两个面，1和5所在的面是相对的两个面．∵2＋6＝8，3＋4＝7，1＋5＝6，∴原正方体相对两个面上数字之和的最小值是6.17．圆锥；2π 18．8三、 19．解：如图所示．20．解：(1)如图所示．(2)221．解：(1)AC2＝AD·AB.理由如下：当阳光垂直照射时，点C在AB上的正投影是点D，则CD⊥AB.在△ACD与△ABC中，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD·AB.(2)线段BC，BA和BD之间有类似的关系．证明如下：同理可证△BDC∽△BCA，∴＝，∴BC2＝BD·BA.22．解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱，并且圆柱的底面圆直径(2r)为10011
mm，高(h)为150mm.制作每个茶叶罐所需钢板的面积即为该圆柱的表面积，S表＝2πr2＋2πrh＝2π×502＋2π×50×150＝20000π(mm2)．故制作每个茶叶罐所需钢板的面积为20000πmm2.23．解：(1)由题意，可得圆锥的母线SA＝＝40(cm)，圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长l＝2π·OA＝20π(cm)．∴S侧＝l·SA＝400π(cm2)，而S底＝π·AO2＝100π(cm2)．∴S表＝S侧＋S底＝(400＋100)π＝500π(cm2)，即圆锥的表面积为500πcm2.(2)沿母线SA将圆锥的侧面展开，如图所示，连接AM，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短路径的长．由(1)知，SA＝40cm，＝20πcm.设侧面展开图(扇形)的圆心角为n°，∵＝20π，∴n＝＝90.∴∠S＝90°.∵SA′＝SA＝40cm，SM＝3A′M，∴SM＝30cm.在Rt△ASM中，由勾股定理，得AM＝＝50(cm)．∴蚂蚁所走的最短路径的长是50cm.24．解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，∵tan∠ACB＝，∴AB＝AC·tan∠ACB＝9×≈5.2(米)．故树AB的高约为5.2米．(2)如图，以点A为圆心，以AB11
长为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，设点D为切点，连接AD，则AD⊥DE.在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠AED＝30°，∴AE＝2AD≈2×5.2＝10.4(米)．故树影的最大长度约为10.4米．11
