第十八章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，▱ABCD中，AC＝3cm，BD＝5cm，则边AD的长可以是( )A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm2．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且AD＝DB，AE＝EC.若DE＝4，则BC的长为( )A．2B．4C．6D．83．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝3cm，AB＝4cm，则▱ABCD的周长是( )A．20cmB．21cmC．22cmD．23cm4．下列命题中，真命题是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形5．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是( )A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F，若图中阴影部分的面积为6，则矩形ABCD的面积为( )A．12B．18C．24D．3014
7．平行四边形ABCD的对角线交于点O，有五个条件：①AC＝BD，②∠ABC＝90°，③AB＝AC，④AB＝BC，⑤AC⊥BD，则下列哪个组合可判定这个四边形是正方形？( )A．①②B．①③C．①④D．④⑤8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( ) A．1B.C．4－2D．3－49．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为( )A．1B.C．2D.＋110．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．若第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为( )A.B.C.D.二、填空题(每题3分，共30分)14
11．如图，在▱OABC中，点O为坐标原点，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(4，2)，则点C的坐标为__________．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为________．13．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED等于________．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC:∠EDA＝1:2，且AC＝10，则EC的长度是________．15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC＋BD＝30cm，△OAB的周长为23cm，则EF的长为__________．16．如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点(不与端点重合)，若AB＝AE，且AE平分∠DAB，则有下列结论：①∠B＝60°；②AC＝BC；③∠AED＝∠ACD；④△ABC≌△EAD.其中正确的是__________(在横线上填所有正确结论的序号)．17．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上的点C′处，得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为________．18．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2020s时，点P的坐标为__________．19．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．20．正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点，若△PBE是等腰三角形，则腰长为____________________．14
三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交CD，AB于点E，F.求证AE＝CF.22．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．23．如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交AB于点G，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．14
24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD，AC，BC于点E，O，F，连接CE和AF.(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AB＝4,BC＝8，求菱形AECF的周长．14
25．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形．(2)①当四边形CEDF是矩形时，求AE的长；②当四边形CEDF是菱形时，求AE的长．14
26．如图，在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图①；(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并证明．14
答案一、1.A 2.D 3.C 4.C5．D 点拨：运用三角形的中位线定理和矩形的性质解答．6．C 点拨：根据题意易知△COF的面积与△AOE的面积相等，阴影部分的面积为矩形面积的四分之一．7．C8．C 点拨：由题易得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数．根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，进而在等腰直角三角形中利用勾股定理求出EF的长．9．B10．B 点拨：第一个矩形的面积为1，易知第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积是……故第n个矩形的面积为.二、11.(1，2) 12.30 13.65° 14.2.515．4cm16．①③④ 点拨：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.又AB＝AE，∴AB＝AE＝BE.∴△ABE为等边三角形．∴∠B＝∠BAE＝60°.∴∠B＝∠DAE.∵∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝60°＋∠EAC＞∠B，∴BC＞AC.在△ABC和△EAD中，∴△ABC≌△EAD(SAS)．∴∠BAC＝∠AED.∵AB∥CD，14
∴∠BAC＝∠ACD.∴∠AED＝∠ACD.故正确的是①③④.17．75° 点拨：如图，连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形．由P为AB的中点，利用等腰三角形三线合一的性质得到∠ADP＝30°.由题意易得∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出∠DEC＝75°.18．(0，)19．16 点拨：∵四边形ABCD是矩形，AB＝x，AD＝y，∴CD＝AB＝x，BC＝AD＝y，∠BCD＝90°.又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF＝4，∴BF＝DF＝EF＝4.∴CF＝BF－BC＝4－y.在Rt△DCF中，DC2＋CF2＝DF2，即x2＋(4－y)2＝42＝16，∴x2＋(y－4)2＝16.20．2或或三、21.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∠BAD＝∠BCD.又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD.∴∠DAE＝∠BCF.在△DAE和△BCF中，∴△DAE≌△BCF(ASA)．14
∴AE＝CF.22．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝DC＝CB，∠D＝∠B＝90°.∵E，F分别为DC，BC的中点，∴DE＝DC，BF＝BC.∴DE＝BF.在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF(SAS)．(2)解：由题易知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝CE＝CF＝×4＝2，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－×4×2－×4×2－×2×2＝6.23．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠AEG＝∠BFG.∵EF垂直平分AB，∴EF⊥AB，AG＝BG.在△AGE和△BGF中，∴△AGE≌△BGF(AAS)．(2)解：四边形AFBE是菱形．理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF.∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形．又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．14
24．(1)证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO(ASA)．∴OE＝OF.∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．(2)解：设AF＝x.∵EF是AC的垂直平分线，∴AF＝CF＝x，∴BF＝8－x.在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＋BF2＝AF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴AF＝5.∴菱形AECF的周长为20.25．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED.∴∠FCG＝∠EDG.∵G是CD的中点，∴CG＝DG.在△FCG和△EDG中，14
∴△FCG≌△EDG(ASA)．∴FG＝EG.∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形．(2)解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3cm，BC＝AD＝5cm.∵四边形CEDF是矩形，∴∠CED＝90°.在Rt△CED中，易得ED＝CD＝1.5cm，∴AE＝AD－ED＝3.5(cm)．故当四边形CEDF是矩形时，AE＝3.5cm.②若四边形CEDF是菱形，则CE＝ED.由①可知∠CDA＝60°，∴△CED是等边三角形．∴DE＝CD＝3cm.∴AE＝AD－DE＝5－3＝2(cm)．故当四边形CEDF是菱形时，AE＝2cm.点拨：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，有时还需添加适当的辅助线构造全等三角形．同时全等三角形也为平行四边形、矩形、菱形的判定构筑了重要的平台和保障．26．解：(1)如图①所示．14
(2)如图②，连接AE.∵点E是点B关于直线AP的对称点，∴∠PAE＝∠PAB＝20°，AE＝AB.∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝AB＝AD，∠BAD＝90°.∴∠AED＝∠ADE，∠EAD＝∠DAB＋∠BAP＋∠PAE＝130°.∴∠ADF＝＝25°.(3)EF2＋FD2＝2AB2.证明：如图③，连接AE，BF，BD，由轴对称和正方形的性质可得EF＝BF，AE＝AB＝AD，易得∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，又∵∠BAD＝90°，∴∠ABF＋∠FBD＋∠ADB＝90°.∴∠ADF＋∠ADB＋∠FBD＝90°.∴∠BFD＝90°.在Rt△BFD中，由勾股定理得BF2＋FD2＝BD2；在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝2AB2，14
∴EF2＋FD2＝2AB2.14
