1数据链接真题试做2数据聚焦考点梳理a3数据剖析题型突破第17讲三角形的基本性质目录\n数据链接真题试做命题点1三角形边的关系命题点2三角形角的关系命题点3与三角形有关的重要线段\n三角形边的关系命题点1返回子目录1.(2018·河北,1)下列图形具有稳定性的是()A数据链接真题试做1\n返回子目录2.(2011·河北,10)已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为()A.2B.3C.5D.13B\n返回子目录3.(2013·河北,15)如图①,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成△ABC,且∠B=30°,∠C=100°,如图②.则下列说法正确的是()图①图②A.点M在AB上B.点M在BC的中点处C.点M在BC上,且距点B较近,距点C较远D.点M在BC上,且距点C较近,距点B较远C\n三角形角的关系命题点2返回子目录4.(2021·河北,13)定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.已知:如图,∠ACD是△ABC的一个外角.求证:∠ACD=∠A+∠B.证法1:如图,∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理),又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义),∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量代换).∴∠ACD=∠A+∠B(等式性质).证法2:如图,∵∠A=76°,∠B=59°,且∠ACD=135°(量角器测量所得),又∵135°=76°+59°(计算所得),∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换).\n返回子目录下列说法正确的是()A.证法1还需要证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整B.证法1用严谨的推理证明了该定理C.证法2用特殊到一般法证明了该定理D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理B\n返回子目录5.(2010·河北,2)如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A等于()CA.60°B.70°C.80°D.90°6.(2014·河北,4)如图,平面上直线a,b分别过线段OK两端点(数据如图),则a,b相交所成的锐角是()A.20°B.30°C.70°D.80°B\n与三角形有关的重要线段命题点3返回子目录7.(2015·河北,15)如图,点A,B为定点,定直线l∥AB,P是l上一动点,点M,N分别为PA,PB的中点,对于下列各值:①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN,AB之间的距离；⑤∠APB的大小.其中会随点P的移动而变化的是()A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤B\n返回子目录8.(2017·河北,17)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB,分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200m,则A,B间的距离为m.100\n数据聚焦考点梳理考点1三角形分类及三边关系考点2三角形内角和定理及外角关系考点3与三角形有关的重要线段\n三角形分类及三边关系考点1返回子目录1.三角形分类数据聚集考点梳理2三角形按边分按角分三边都不相等的三角形等腰三角形“底≠腰”的等腰三角形等边三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形\n返回子目录3.判断三条线段能否构成三角形只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.如图,a+b①c,|a-b|②c.即|a-b|<c<a+b.＞＜\n三角形内角和定理及外角关系考点2返回子目录1.内角和定理:三角形的内角和等于③.2.内外角关系:三角形的一个外角④与它不相邻的两个内角之和.三角形的一个外角⑤任何一个与它不相邻的内角.等于180°大于\n与三角形有关的重要线段考点3返回子目录五线定义图形性质中线连接一个顶点与它对边中点的线段(三条中线的交点为三角形的重心)BD=DC高从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段(三条高所在直线的交点为三角形的垂心)AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°\n返回子目录五线定义图形性质角平分线一个内角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段(三条角平分线的交点为三角形的内心)∠1=∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE⑥BC且DE=BC续表∥\n返回子目录五线定义图形性质垂直平分线过一边的中点作垂线(三边垂直平分线的交点为三角形的外心)BD=DC,BE=EC,ED⊥BC续表(1)三角形的内心.①定义:三角形三个内角的平分线的交点.②性质:内心到三角形三边的距离相等.(2)三角形的外心.①定义:三角形三条边的垂直平分线的交点.②性质:外心到三角形三个顶点的距离相等.\n数据剖析题型突破考向1三角形的三边关系考向2三角形的相关计算考向3与三角形相关的重要线段的应用\n三角形的三边关系（5年考0次）考向1返回子目录1.(2021·唐山模拟)下列长度的三条线段,能组成三角形的是()A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cmC.5cm,5cm,10cmD.6cm,7cm,14cm数据剖析题型突破3B\n返回子目录2.(2021·河北模拟)如果一个三角形的两边长分别为2和6,第三边长为偶数,那么这个三角形的周长可以是()A.6B.13C.14D.153.(2021·邯郸联考)已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为()A.2a+2b-2cB.2a+2bC.2cD.04.已知a,b,c是△ABC的三条边,a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,c为奇数,则c=.CD7\n返回子目录＜5.(2020·河北模拟)如图,点P是△ABC的内心,连接PA,PB,PC,则△PAB,△PBC,△PAC的面积分别为S1,S2,S3,则S1(填“<”或“=”或“>”)S2+S3.\n返回子目录6.(2021·原创题)已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a+b=3c-2,a-b=2c-6.(1)求c的取值范围;(2)若△ABC的周长为18,求c的值.解:(1)由题意得解得1<c<6.(2)由题意得3c-2+c=18,解得c=5.\n返回子目录通过多个条件确定三角形第三边的方法:已知两边第三边小于其他两边的和且大于其他两边的差第三边的范围附加条件确定第三边\n三角形的相关计算（5年考1次）考向2返回子目录1.(2021·石家庄新华区模拟)三个全等三角形按如图所示的形式摆放,则∠1+∠2+∠3的度数是()A.90°B.120°C.135°D.180°D\n返回子目录2.(2021·陕西中考)如图,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE.若∠A=35°,∠B=25°,∠C=50°,则∠1的大小为()A.60°B.70°C.75°D.85°B\n返回子目录3.如图,已知AD和BE是△ABC的两条中线,设△ABD的面积为S1,△BCE的面积为S2,则S1与S2的大小关系是()A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.不能确定B\n返回子目录4.(2021·原创题)如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在△ABC外的A'处,折痕为DE.如果∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,那么下列式子中正确的是()AA.γ=2α+βB.γ=α+2βC.γ=α+βD.γ=180°-α-β\n返回子目录5.(2021·原创题)如图,把△ABC剪成三部分,边AB,BC,AC放在同一直线上,点O都落在直线MN上,直线MN∥AB.在△ABC中,若∠AOB=125°,则∠ACB的度数为()A.70°B.65°C.60°D.85°A\n返回子目录6.如图,在△ABC中,∠ACB=60°,∠BAC=75°,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE交于H,则∠CHD=°.45\n返回子目录7.(2021·河北模拟)如图,将分别含有30°,45°角的一副三角板重叠,使直角顶点重合,若两直角重叠形成的角为65°,则图中角α的度数为°.1401.虽然三角形的外角在三角形外部,但不应错误地理解为三角形外部的角就是三角形的外角.2.三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角,而不是大于任何一个内角.\n与三角形相关的重要线段的应用（5年考1次）考向3返回子目录1.(2021·河北模拟)11个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,点A,B,C,D,E,O均是正六边形的顶点,则点O是下列哪个三角形的外心()A.△AEDB.△ABDC.△BCDD.△ACDD\n返回子目录2.(2021·石家庄模拟)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为()A.8B.11C.16D.17B\n返回子目录3.(2021·唐山模拟)如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C为()A.24°B.30°C.21°D.40°A\n返回子目录4.(2021·河北模拟)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD等于()A.75°B.80°C.85°D.90°A\n返回子目录5.(2021·石家庄模拟)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC上的中点,连接AE,BF,CD交于点G,AG∶GE=2∶1,△ABC的面积为6,设△BDG的面积为S1,△CGF的面积为S2,则S1+S2=.2\n返回子目录6.如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,CE是AB边上的高,若∠DCE=10°,∠B=60°,求∠A的度数.解:∵CE是AB边上的高,∴∠A+∠ACE=90°,∠B+∠BCE=90°.∵CD是∠ACB的角平分线,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB.又∵∠DCE=10°,∠B=60°,∴∠BCE=90°-∠B=30°,∠BCD=∠BCE+∠DCE=40°,∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠BCD+∠DCE=50°,∴∠A=90°-∠ACE=40°.\n返回子目录7.如图,AF平分∠BAC,DF平分∠BDC,求证:∠AFD=(∠H+∠BGC).证明:延长AF交DH于E点.由三角形外角定理得∠AFD=∠FDE+∠FED=∠FDE+∠H+∠HAE,∵AF平分∠BAC,DF平分∠BDC,∴∠AFD=∠BDC+∠BAC+∠H.∵∠BGC=∠BDC+∠ACD=∠BDC+∠BAC+∠H,∴(∠BGC+∠H)=(∠BDC+∠BAC+∠H+∠H)=∠BDC+∠BAC+∠H=∠AFD.E\n返回子目录8.如图,在△ABC中,BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线,BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线.(1)若∠A=30°,求∠D,∠P的度数;(2)不论∠A为多少时,探索∠D+∠P的值是否变化,并说明理由.\n返回子目录解:(1)∠D=105°,∠P=75°.(2)∠D+∠P的值不变,理由如下:∵BD,CD平分∠ABC,∠ACB,∴∠CBD=∠ABC,∠BCD=∠ACB.∴∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-∠ABC-∠ACB=90°+∠A.同理∠P=90°-∠A,∴∠P+∠D=+=180°.\n返回子目录在三角形中,已知中点求边长(或周长),一般会用到三角形的中位线定理;已知垂直平分线求边长(或周长),一般会用到垂直平分线上一点到线段两端距离相等这一性质.
