1数据链接真题试做2数据聚焦考点梳理a3数据剖析题型突破第18讲等腰三角形、直角三角形目录\n数据链接真题试做命题点全等三角形的性质及判定\n1.(2020·河北,22)如图,点O为AB中点,分别延长OA到点C,OB到点D,使OC=OD.以点O为圆心,分别以OA,OC为半径在CD上方作两个半圆.点P为小半圆上任一点(不与点A,B重合),连接OP并延长交大半圆于点E,连接AE,CP.(1)①求证:△AOE≌△POC;②写出∠1,∠2和∠C三者间的数量关系,并说明理由;(2)若OC=2OA=2,当∠C最大时,直接指出CP与小半圆的位置关系,并求此时S扇形EOD(答案保留π).全等三角形的性质及判定命题点返回子目录数据链接真题试做1\n返回子目录解：(1)①证明：∵OP=OA,OC=OE，∠COP=∠EOA，∴△AOE≌△POC.②∠2=∠1+∠C.理由：∵∠2=∠1+∠E，又∵∠C=∠E，∴∠2=∠1+∠C.(2)相切.∵点P为半圆O的切点，∴OP⊥CP.∵OP=1，OC=2，∴∠PCO=30°.∴∠EOD=∠PCO+∠OPC=30°+90°=120°.∴.\n返回子目录2.(2019·河北,23)如图,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,边AD与边BC交于点P(不与点B,C重合),点B,E在AD异侧,I为△APC的内心.(1)求证:∠BAD=∠CAE;(2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;(3)当AB⊥AC时,∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°,分别直接写出m,n的值.\n返回子目录解：(1)证明:∵AB=AD,∠B=∠D,BC=DE,∴△ABC≌△ADE(SAS).∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.∴∠BAD=∠CAE.(2)PD=6-x;如图,当AD⊥BC时x最小,PD最大.∵∠B=30°,AB=6,∴x=AB=×6=3.∴PD的最大值为3.(3)m=105,n=150.\n返回子目录3.(2018·河北,23)如图,∠A=∠B=50°,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.(1)求证:△APM≌△BPN;(2)当MN=2BN时,求α的度数;(3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.\n返回子目录解：(1)证明:∵P为AB的中点,∴PA=PB=AB.在△APM和△BPN中,∵∴△APM≌△BPN(ASA).∠A=∠B,PA=PB,∠APM=∠BPN,(2)由(1),得△APM≌△BPN,∴PM=PN=MN.∵MN=2BN,∴BN=MN=PN.∴α=∠B=50°.(3)40°<α<90°.\n返回子目录4.(2016·河北,21)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.解:(1)证明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF.又∵AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF(SSS).(2)AB∥DE,AC∥DF.理由:∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.∴AB∥DE,AC∥DF.\n数据聚焦考点梳理考点1全等三角形及其性质考点2全等三角形的判定\n全等三角形及其性质考点1返回子目录1.定义:能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.数据聚集考点梳理22.性质(1)全等三角形的对应边①,对应角②.(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等,周长③,面积④.相等相等相等相等\n全等三角形的判定考点2返回子目录1.全等三角形的判定类型图形已知条件是否全等判定定理一般三角形全等的判定A1B1=A2B2,B1C1=B2C2,A1C1=A2C2是⑤∠B1=∠B2,B1C1=B2C2,∠C1=∠C2是ASA∠B1=∠B2,∠C1=∠C2,A1C1=A2C2是AASA1B1=A2B2,∠B1=∠B2,B1C1=B2C2是⑥SSSSAS\n返回子目录续表类型图形已知条件是否全等判定定理直角三角形全等的判定A1B1=A2B2,A1C1=A2C2是⑦HL\n返回子目录【温馨提示】(1)一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形,而“HL”只适用于直角三角形全等的判定;(2)“SSA”“AAA”不能判定三角形全等;(3)证明三角形全等时,对应顶点的字母必须写在对应位置上.\n返回子目录2.证明两个三角形全等的基本思路判定三角形全等已知两边已知一边和一角找夹角→SAS找直角→HL或SAS找另一边→SSS边为角的一边边为角的对边→找任一角→AAS找角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角找夹边→ASA找其中一角的对边→AAS\n数据剖析题型突破考向1全等三角形的判定考向2全等三角形的性质及相关计算\n全等三角形的判定（5年考3次）考向1返回子目录数据剖析题型突破31.(2021·河北模拟)嘉淇发现有两个结论:在△A1B1C1与△A2B2C2中,①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,B1C1=B2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;②若∠A1=∠A2,A1C1=A2C2,B1C1=B2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2.对于上述的两个结论,下列说法正确的是()A.①,②都错误B.①,②都正确C.①正确,②错误D.①错误,②正确C\n返回子目录2.(2021·石家庄模拟)如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°,连接AC,BD相交于点M,连接OM.下列结论:①∠AMB=36°,②AC=BD,③OM平分∠AOD,④MO平分∠AMD.其中正确的结论有()A.4个B.3个C.2个D.1个B\n返回子目录B3.(2021·河北模拟)如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是()A.B.2C.2D.\n返回子目录4.(2021·石家庄模拟)已知:如图,点A,F,E,C在同一直线上,AB∥DC,AB=CD,∠B=∠D.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)若点E,G分别为线段FC,FD的中点,连接EG,且EG=5,求AB的长.解:(1)证明:∵AB∥DC,∴∠A=∠C.又∵AB=CD,∠B=∠D,∴△ABE≌△CDF(ASA).(2)∵E,G分别为线段FC,FD的中点,∴EG=CD.∵EG=5,∴CD=10.∵△ABE≌△CDF,∴AB=CD=10.\n返回子目录5.(2021·河北预测)已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.(1)如图①,若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图②说明理由.\n返回子目录解:(1)如图①,连接AD,∵∠BDA=∠EDF=90°,∴∠BDE+∠EDA=∠EDA+∠ADF.∴∠BDE=∠ADF.又∵D为BC的中点,△ABC是等腰直角三角形,∴BD=AD,∠B=∠DAC=45°.∴△BDE≌△ADF(ASA).∴BE=AF.\n返回子目录(2)BE=AF,理由:如图②,连接AD,∵∠BDA=∠EDF=90°,∴∠BDE+∠BDF=∠BDF+∠ADF.∴∠BDE=∠ADF.又∵D为BC的中点,△ABC是等腰直角三角形,∴BD=AD,∠ABC=∠DAC=45°.∴∠EBD=∠FAD=180°-45°=135°.∴△BDE≌△ADF(ASA).∴BE=AF.\n返回子目录(1)要证两个三角形全等,至少要有一组对应边相等；(2)在有一组对应边相等的条件下,找任意两组对应角相等即可；(3)在有两组对应边相等的条件下,可以找第三组对应边相等,也可找这两组对应边的夹角相等.\n全等三角形的性质及相关计算（5年考3次）考向2返回子目录1.(2021·沧州模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1,则△ABC的面积是()BA.B.5C.2D.\n返回子目录2.(2021·河北模拟)如图所示,AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=()A.55°B.50°C.45°D.60°3.(2021·石家庄模拟)如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()AA.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-cD\n返回子目录4.(2021·河北模拟)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l过点C,BD⊥l,AE⊥l,垂足分别为D,E.(1)当直线l不与底边AB相交时,求证:ED=AE+BD;(2)如图2,将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB相交时,请你探究ED,AE,BD三者之间的数量关系.\n返回子目录解:(1)证明:∵直线l过点C,BD⊥l,AE⊥l,∴∠AEC=∠BDC=90°.∵∠ACB=90°,∴∠EAC+∠ACE=90°,∠BCD+∠ACE=90°,∴∠EAC=∠BCD.在△AEC和△CDB中,∵∴△AEC≌△CDB(AAS),∴CE=BD,AE=CD.∵ED=CE+CD,∴ED=AE+BD.∠EAC=∠DCB,∠AEC=∠BDC，AC=BC,\n返回子目录(2)ED=BD-AE,理由:∵直线l过点C,BD⊥l,AE⊥l,∴∠AEC=∠BDC=90°.∵∠ACB=90°,∴∠EAC+∠ACE=90°,∠BCD+∠ACE=90°,∴∠EAC=∠BCD.在△AEC和△CDB中,∵∴△AEC≌△CDB(AAS),∴CE=BD,AE=CD.∵ED=CE-CD,∴ED=BD-AE.∠EAC=∠DCB,∠AEC=∠BDC，AC=BC,\n返回子目录5.(2021·唐山模拟)在直角△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F.(1)求∠EFD的度数;(2)判断FE与FD之间的数量关系,并证明你的结论.解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠BAC=30°.∵AD,CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线,∴∠FAC=∠BAC=15°,∠FCA=∠ACB=45°.∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°,∴∠EFD=∠AFC=120°.\n(2)结论:FE=FD.证明:如图,在AC上截取AG=AE,连接FG,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠EAF=∠GAF.在△FAE和△FAG中,∵∴△AEF≌△AGF(SAS),∴FE=FG,∠AFE=∠AFG.∵∠EFD=120°,∴∠DFC=60°,∠AFG=∠AFE=60°,∴∠CFG=60°=∠DFC.∵EC平分∠BCA,∴∠DCF=∠FCG=45°.在△FGC和△FDC中,∵∴△FGC≌△FDC(ASA),∴FG=FD,∴FE=FD.AE=AG,∠EAF=∠GAF，AF=AF,∠GFC=∠DFC,FC=FC，∠FCG=∠FCD,返回子目录\n返回子目录在求三角形中有关线段的长和角的度数时,先根据三角形全等得出对应边和对应角相等,再根据线段之间与角之间的和、差、倍、分关系进行计算.
