期中达标测试卷一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)1.cos60°＝( )A.B.C.D.2．小明在解方程x2－2x＝0时，只得出一个根x＝2，则漏掉的一个根是( )A．x＝－2B．x＝0C．x＝1D．x＝33．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则AB＝( )A．6B.C．10D．124．如图，已知直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为( )A．9B．5C．4D．3(第4题) (第7题)5．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则( )A．y＞z＞xB．x＞z＞yC．y＞x＞zD．z＞y＞x6．已知线段a，b，c的长度分别为1cm，2cm，3cm，如果线段d和已知的三条线段是成比例线段，那么线段d的长度不可能等于( )A．6cmB.cmC.cmD.cm7．如图是小颖前三次购买苹果时苹果的单价的统计图，第四次购买的苹果的单价是9元/千克，则这四个单价的平均数、中位数和众数分别为( )A．8元/千克，8元/千克，8元/千克B．8元/千克，9元/千克，9元/千克C．8元/千克，8.5元/千克，9元/千克D．8.5元/千克，8元/千克，9元/千克13
8．在解方程2x2＋4x＋1＝0时，对方程进行配方，图①是小思做的，图②是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是( )A．两人都正确B．小思正确，小博不正确C．小思不正确，小博正确D．两人都不正确(第8题) (第9题)9．如图，在6×6的网格图中，每个小正方形的边长均为1，则关于三角形①、②有四个说法，其中正确的是( )A．一定不相似B．一定位似C．一定相似，且相似比为1∶2D．一定相似，且相似比为1∶4-10．某校进行了五次数学模拟考试，满分均为120分，甲、乙、丙、丁四名学生五次模拟考试成绩的平均数x与方差s2如下表所示：-甲乙丙丁x/分100113113102s20.040.460.942.92则这四名学生数学成绩好且发挥稳定的是( )A．甲B．乙C．丙D．丁11．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k≥0B．k＞0且k≠1C．k≤0且k≠－1D．k＞012．一组数据：4，4，x，8，8有唯一的众数，则这组数据的平均数是( )13
A.B.或5C.或D．513．在长20米，宽12米的矩形空地ABCD中，修建4条如图所示的宽度相同的小路，4条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，其边长是小路宽的2倍，小路的总面积是40平方米，若设小路的宽是x米，则所列方程正确的是( )(第13题)A．32x＋2x2＝40B．x(32＋4x)＝40C．64x＋4x2＝40D．64x－4x2＝4014．如图，某段路基横断面为梯形ABCD，其中AB∥CD，BC长6米，斜坡AD的坡比为1∶2，斜坡BC的坡比为1∶1，则AD的长为( )(第14题)A．12米B．3米C．3米D．6米15．在如图所示的正方形网格中，A，B，C，D都是格点，AB，CD相交于点E，则CE∶ED的值为( )A.B.C.D.(第15题) (第16题)16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，A(－3，0)，C(3，0)，tan∠ACB＝2，∠BAC＝45°.在y轴正半轴上存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似，满足条件的点P的个数为( )13
A．1B．2C．3D．4二、填空题(每题4分，共12分)17．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________．(第17题) (第19题)18．若一元二次方程x2－7x＋5＝0的两个实数根分别是a，b，则一次函数y＝abx＋a＋b的图像一定不经过第________象限．19．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是________海里．三、解答题(20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，26题12分，共66分)20．计算：(1)2cos245°－tan45°＋4sin30°； (2)tan60°·.21．甲、乙两名同学5次数学选拔赛的成绩统计如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲同学成绩/分8040705060乙同学成绩/分705070a70如果他们5次选拔赛的总成绩相同，请同学们完成下列问题：(1)统计表中，a＝________；(2)小颖计算出甲同学成绩的平均数为60分，方差s13
＝200.请你求出乙同学成绩的平均数和方差；(3)从平均数和方差的角度分析，甲、乙两名同学谁的成绩更稳定．22．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若等腰三角形ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，求△ABC的周长．23．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：(1)线段DC的长；(2)tan∠EDC的值．(第23题)13
24.位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．(第24题)某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6m.(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41)；(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．13
25．因抖音等新媒体的传播，河北省某古镇已成为著名的网红旅游地之一，2018年“十一”黄金周期间，该古镇接待游客100万人次，2020年“十一”黄金周期间，接待游客已达169万人次，该古镇美食无数，一家特色小面店希望在黄金周期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖25元，平均每天将销售300碗．价格每降低1元，平均每天多销售30碗．(1)求出2018年至2020年“十一”黄金周期间游客人次的年平均增长率；(2)为了维护古镇形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元？26．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，sin∠ABD＝.点E在对角线BD上，DE＝2.点P从点B出发沿折线B－A－D匀速移动，到达点D时停止．连接PE.(1)AD＝________．(2)设点P移动的路程为x.①求点P到直线BD的距离(用含x的式子表示)；②当点P在∠ADB的平分线上时，求x的值．(3)设点P移动的时间为t秒，若点P从B到A再到D共用时28秒，请直接写出当△ABD被线段PE截得的三角形与△BCD相似时t的值．(第26题)13
答案一、1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.D7．C 8.A 9.C 10.B 11.B12．C 【点拨】因为一组数据：4，4，x，8，8有唯一的众数，所以x＝4或x＝8.-当x＝4时，x＝＝；-当x＝8时，x＝＝.13．B14．C 【点拨】如图，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，则四边形AEFB是矩形，∴AE＝BF.∵斜坡BC的坡比为1∶1，BC长6米，∴易得BF＝CF＝3米，∴AE＝3米，∵斜坡AD的坡比为1∶2，∴AE∶DE＝1∶2，∴DE＝2AE＝6米，∴AD＝＝＝3(米)．(第14题)15．C 【点拨】如图，过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，设AB与CH交于点N，与DM交于点G，小正方形的边长为1，(第15题)∵AF∥CH，∴△BNH∽△BAF，∴＝＝，13
∴NH＝AF＝，∴CN＝CH－NH＝.∵DM∥AF，∴△BGD∽△BAF，∴＝＝，∴DG＝AF＝.∵CH∥DM，∴△CEN∽△DEG，∴＝＝＝.16．D 【点拨】过点B作BE⊥x轴于E，则四边形OEBD是矩形．设BE＝m，则CE＝＝m，AE＝＝m.∵AC＝AE＋CE＝AO＋OC＝6，∴m＋m＝6，∴m＝4，∴OE＝OC－CE＝3－×4＝1.∴BD＝1.设点P的坐标为(0，n)，则分0＜n＜4和n＞4两种情况．①当0＜n＜4时，OP＝n，DP＝4－n.∵∠AOP＝∠BDP＝90°，以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似，∴＝或＝，即＝或＝，解得n＝3或n＝1；②当n＞4时，OP＝n，DP＝n－4，同理可得n＝6或n＝2＋(n＝2－舍去)．综上所述，满足条件的点P有4个．二、17.5 18.四19．20 【点拨】如图，过B作BD⊥AC于点D.由题意得，∠CBA＝25°＋50°＝75°，AB＝40×1＝40(海里)，∠CAB＝(90°－70°)＋(90°－50°)＝20°＋40°＝60°，∴∠ABD＝30°，∴∠CBD＝75°－30°＝45°.在Rt△ABD中，BD＝AB·sin∠CAB＝40×sin60°＝40×＝20(海里)．13
在Rt△BCD中，BC＝＝＝20(海里)．(第19题)三、20.解：(1)原式＝2×－1＋4×＝2×－1＋2＝1－1＋2＝2.(2)原式＝×＝×＝1.21．解：(1)40(2)乙同学成绩的平均数为×(70＋50＋70＋40＋70)＝60(分)，方差s＝×[(70－60)2＋(50－60)2＋(70－60)2＋(40－60)2＋(70－60)2]＝160.(3)因为甲、乙两名同学成绩的平均数相同，s＞s，所以乙同学的成绩更稳定．22．(1)证明：∵b2－4ac＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)解：∵x＝＝，∴x1＝k＋1，x2＝k.当k＋1＝5，即k＝4时，△ABC的三边长分别为5，5，4，则△ABC的周长为5＋5＋4＝14；当k＝5时，△ABC的三边长分别为5，5，6，则△ABC的周长为5＋5＋6＝16.综上所述，△ABC的周长为14或16.23．解：(1)∵在Rt△BDA中，∠BDA＝90°，AD＝12，sinB＝＝，∴AB＝15.∴BD＝＝＝9.∴DC＝BC－BD＝14－9＝5.(2)∵在Rt△ADC中，E为边AC的中点，∴ED＝EC.13
∴∠EDC＝∠C.∵在Rt△ADC中，AD＝12，CD＝5，∴tanC＝＝.∴tan∠EDC＝.24．解：(1)过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m.∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE.设AE＝CE＝xm，∴BE＝(16＋x)m，∵∠ABE＝22°，∴AE＝BE·tan22°，∴x≈(16＋x)×0.40，∴x≈10.7，∴AE≈10.7m，∴AD＝AE＋DE≈10.7＋1.6＝12.3(m)．答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m.(2)∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，∴本次测量结果的误差为12.6－12.3＝0.3(m)．建议：可以通过多次测量取平均值的方法减小误差(建议不唯一，合理即可)．25．解：(1)设年平均增长率为x，依题意得100(1＋x)2＝169，解得x1＝0.3＝30%，x2＝－2.3(舍去)．答：年平均增长率为30%.(2)设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天盈利6300元，依题意得(y－6)[300＋30(25－y)]＝6300，解得y1＝20，y2＝21.∵每碗售价不得超过20元，∴y＝20.答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天盈利6300元．26．解：(1)6(2)①如图①，当点P在AB上时，过点P作PH⊥BD于H，则∠PHB＝90°，13
∴sin∠PBH＝＝，∴PH＝x.如图②，当点P在AD上时，过点P作PH⊥BD于H，则∠PHD＝90°，∴易得∠DPH＝∠ABD.∵sin∠ABD＝，∴易得cos∠ABD＝，∴cos∠DPH＝＝.∴PH＝PD＝(8＋6－x)＝(14－x)＝－x＋.综上所述，点P到直线BD的距离为x或－x＋.②如图③，过点P作PH⊥BD于H，连接PD.∵DP平分∠ADB，PH⊥BD，PA⊥AD，∴PA＝PH＝x.∵BP＋PA＝AB＝8，∴x＋x＝8，∴x＝5.(第26题)(3)t的值为或或.【点拨】易得BD＝10，BE＝8.∵点P从B到A再到D共用时28秒，BA＋AD＝14，∴点P的移动速度为＝0.5(个单位长度/秒)．情形1：当EP⊥AB时，△BPE∽△DCB，∴＝，∴＝，∴t＝.13
情形2：当EP⊥AD时，△DEP∽△BDC，∴＝，∴＝，∴t＝.情形3：当PE⊥DE时，△DEP∽△BCD，∴＝，∴＝，∴t＝.综上所述，满足条件的t的值为或或.13
