期中测试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．如果y=+3，那么yx的算术平方根是（ ）A．2B．3C．9D．±32．下列式子中，为最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．3．一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（ ）A．x1=1，x2=6B．x1=2，x2=3C．x1=1，x2=﹣6D．x1=﹣1，x2=64．用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（ ）A．（x﹣）2=B．（x+）2=C．（x﹣）2=0D．（x﹣）2=5．下列线段中，能成比例的是（ ）A．3cm，6cm，8cm，9cmB．3cm，5cm，6cm，9cmC．3cm，6cm，7cm，9cmD．3cm，6cm，9cm，18cm6．如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果=，那么等于（ ）A．B．C．D．7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（ ）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定8．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）A．168（1+x）2=108B．168（1﹣x）2=108C．168（1﹣2x）=108D．168（1﹣x2）=1089．已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（ ）A．a=1B．a=1或a=﹣2C．a=2D．a=1或a=210．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（ ）A．B．4C．或2D．4或 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．计算：= ．16\n12．已知=，则= ．13．若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 ．14．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，则∠ADC的度数为 ．15．如图，点G为△ABC的重心，GE∥BC，BC=12，则GE= ．16．如图所示，已知点F的坐标为（3，0），点A，B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5﹣x（0≤x≤5），则下列结论：①AF=2；②S△POF的最大值是6；③当d=时，OP=；④OA=5．其中正确的有 （填序号）． 三．解答题（共9小题，满分86分）17．（8分）计算：﹣（）﹣1+﹣（π﹣3.14）0+|2﹣4|．18．（8分）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．16\n18．（8分）先化简，再求值：（﹣），其中a=17﹣12，b=3+220．（8分）如图，△ABC三个顶点分别为A（0，﹣3），B（3，﹣2），C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1．19．（8分）已知关于x的方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0的两根为x1，x2，且满足x1x2﹣3x1﹣3x2﹣2=0，求a的值．20．16\n（10分）如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯（图中黑点代表景观灯），每排相邻两景观灯的间隔都是10m，在与河岸DE的距离为16m的A处（AD⊥DE）看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．23．（10分）为迎接G20杭州峰会的召开，某校八年级（1）（2）班准备集体购买一种T恤衫参加一项社会活动．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件（含60件）以上时，一律每件80元．（1）如果购买x件（10＜x＜60），每件的单价为y元，请写出y关于x的函数关系式；（2）如果八（1）（2）班共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买数量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，求第一批T恤衫的购买数量．24．（13分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：16\n三三角形角形角的已知量图2∠A=2∠B=90°图3∠A=2∠B=60°（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明；（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长．（直接写出结论即可）25．（13分）正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．参考答案：16\n 一．选择题1．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出x、y的值，根据算术平方根的概念解答即可．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得，x=2，∴y=3，则yx=9，9的算术平方根是3．故选：B． 2．【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【解答】解：A、原式=2，不符合题意；B、原式为最简二次根式，符合题意；C、原式=，不符合题意；D、原式=，不符合题意，故选：B． 3．【分析】本题应对原方程进行因式分解，得出（x﹣6）（x+1）=0，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”来解题．【解答】解：x2﹣5x﹣6=0（x﹣6）（x+1）=0x1=﹣1，x2=6故选：D． 4．【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，∴x2﹣x=1，∴x2﹣x+=1+，∴（x﹣）2=．故选：D． 5．16\n【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、∵3×9≠6×8，故此选项错误；B、∵3×9≠5×6，故此选项错误；C、∵3×9≠6×7，故此选项错误；D、∵3×18=6×9，故此选项正确；故选：D． 6．【分析】由平行线分线段成比例定理得出=，再由角平分线性质即可得出结论．【解答】解：∵DE∥AB，∴=，∵AD为△ABC的角平分线，∴=；故选：B． 7．【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A． 8．【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：168（1﹣x）2=108．故选：B． 9．【分析】根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．【解答】解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得a﹣1=0，解得：a=1；16\n②当x1=x2时，△=4﹣4（a﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D． 10．【分析】根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到=，设BF=x，则CF=8﹣x，即可求出x的长，得到BF的长，即可选出答案．【解答】解：∵△ABC沿EF折叠B和B′重合，∴BF=B′F，设BF=x，则CF=8﹣x，∵当△B′FC∽△ABC，∴=，∵AB=6，BC=8，∴=，解得：x=，即：BF=，当△FB′C∽△ABC，，，解得：x=4，当△ABC∽△CB′F时，同法可求B′F=4，故BF=4或，故选：D． 二．填空题11．【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．【解答】解：原式=3．故答案为：316\n 12．【分析】根据比例的性质，可得a、b间的关系，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由比例的性质，得b=a．====，故答案为：． 13．【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，∴2m2﹣3m=1∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018故答案为：2018 14．【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD=2EF=12，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC=90°，计算即可．【解答】解：连接BD，∵E、F分别是边AB、AD的中点，∴EF∥BD，BD=2EF=12，∴∠ADB=∠AFE=50°，BD2+CD2=225，BC2=225，∴BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=140°，故答案为：140°． 15．【分析】首先根据G点为△ABC的重心，判断出AG：AD=2：3；然后根据平行线的性质，判断出=，即可求出GE的值是多少．【解答】解：∵点G点为△ABC的重心，∴CD=BC=×12=6；∴AG：GD=2：1，16\n∴AG：AD=2：3，又∵GE∥BC，∴=，∴GE=CD==4．故答案为：4． 16．【分析】当P和A重合时，PF=AF，则x﹣3=5﹣x，求得OA=5，进一步求得AF=2，即可判断①④；当P和B重合时△POF的面积最大，此时x=0，代入d=5﹣x，求得BF的长，求得S△POF的最大值，即可判断②；把d=代入d=5﹣x求得点P的横坐标为3，证得PF⊥OA，然后根据勾股定理即可求得OP的长，即可判断③．【解答】解：当P和A重合时，PF=AF，∴x﹣3=5﹣x，∴x=5，∴OA=5，AF=OA﹣OF=5﹣3=2，故①④正确；∵OF=3是定值，∴当P和B重合时△POF的面积最大，把x=0代入d=5﹣x得d=5，则此时，BF=5，∴OB==4，∴S△POF的最大值=OF•OB=×3×4=6，故②正确；当d=时，则=5﹣x，解得x=3，∵F（3，0），∴PF⊥OA，∴OP===，故③错误．故答案为①②④． 三．解答题17．【分析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算．【解答】解：原式=2﹣2+﹣1+4﹣216\n=． 18．【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3或x2=． 19．【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为，由a=17﹣12=（3﹣2）2、b=3+2=（+1）2，代入计算可得．【解答】解：原式=（﹣）•=[﹣]•=•=，∵a=17﹣12=32﹣2××（2）2=（3﹣2）2，b=3+2=（）2+2+1=（+1）2，∴原式====． 20．【分析】（1）分别作出点A、B、C向上平移6个单位得到的对应点，再顺次连接可得；（2）根据位似变换的定义作出点A、B的对应点，再顺次连接可得．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求． 16\n21．【分析】由根与系数的关系可用a表示出x1+x2和x1x2的值，利用条件可得到关于a的方程，可求得a的值，再利用根的判别式进行取舍．【解答】解：∵方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0的两根为x1，x2，∴△≥0，即4（a﹣1）2﹣4（a2﹣7a﹣4）≥0，解得a≥﹣1，由根与系数的关系可得x1+x2=﹣2（a﹣1），x1x2=a2﹣7a﹣4，∵x1x2﹣3x1﹣3x2﹣2=0，∴a2﹣7a﹣4﹣3×[﹣2（a﹣1）]﹣2=0，解得a=4或a=﹣3，∵a≥﹣1，∴a=4． 22．【分析】根据相似三角形的性质，列出式子构建方程即可解决问题；【解答】解：由题意：AD⊥DE，DE∥BC，DE=20m，BC=50m，AD=16m，∴AB⊥BC，△ADE∽△ABC，∴=，∴=，∴AB=40（m），∴BD=AB﹣AD=40﹣16=24（m），答：这条河的宽度为24m． 23．【分析】（1）若购买x件（10＜x＜60），每件的单价=140﹣（购买数量﹣10），依此可得y关于x的函数关系式；（2）设第一批购买x件，则第二批购买（100﹣x）件，分两种情况：①当30＜x≤40时，则60≤100﹣x＜100；②当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60；根据购买两批T恤衫一共花了9200元列出方程求解即可．【解答】解：（1）购买x件（10＜x＜60）时，y=140﹣（x﹣10）=150﹣x．故y关于x的函数关系式是y=150﹣x．（2）设第一批购买x件，则第二批购买（100﹣x）件．①当30＜x≤40时，则60≤100﹣x＜100，则x（150﹣x）+80（100﹣x）=9200，解得x1=30（舍去），x2=40；②当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60，则x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]=9200，解得x=30或x=70，但40＜x＜60，所以无解；答：第一批购买数量为40件． 24．【分析】（1）图2的三角形，显然是等腰直角三角形，可设斜边c为2，那么a=b=，即可求得、的值，图3的解法同上．16\n（2）由（1）的结论，可猜测a、b、c的等量关系应该是，可通过构造相似三角形来证明；延长CA至D，是得AD=AB；那么∠CAB=2∠A=2∠CBA，再加上公共角∠C，即可证得△CBD∽△CAB，由此得到所求的结论．（3）将已知的边长代入（2）的结论进行计算即可．【解答】解：（1）三角形角的已知量图2∠A=2∠B=90°图3∠A=2∠B=60°；（2分）（2）猜测a，b，c的关系是延长CA至D，使AD=AB（如图4）；∵AD=AB，∴∠D=∠ABD，∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，∵∠CAB=2∠CBA，∴∠D=∠CBA，又∵∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴即．（3）①当a=5，b=6时，由（2）得：，解得c=﹣（不合题意舍去）；②当a=6，b=5时，，解得c=；③当a=5，c=6时，，解得b=﹣3（负值舍去）；④当a=6，c=5时，，解得b=4（负值舍去）；⑤当b=5，c=6时，，解得a=（负值舍去）；⑥当b=6，c=5时，，解得a=（负值舍去）．综上可知：第三边的长为或或或4或． 16\n25．【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK＜AC+AK，据此判断出当C、A、K三点共线时，CK的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出DK=DH，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出AK=CH=AB；最后根据CK=AC+AK=AC+AB，求出线段CK长的最大值是多少即可．【解答】解：（1）如图1，连接BE，，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵点E是DC的中点，DE=DF，∴点F是AD的中点，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．故答案为：CH=AB．（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．16\n如图2，连接BE，，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵AD=CD，DE=DF，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（3）如图3，，∵CK≤AC+AK，∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，∴∠KDF=∠HDE，16\n∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，∴∠DFK=∠DEH，在△DFK和△DEH中，∴△DFK≌△DEH，∴DK=DH，在△DAK和△DCH中，∴△DAK≌△DCH，∴AK=CH又∵CH=AB，∴AK=CH=AB，∵AB=3，∴AK=3，AC=3，∴CK=AC+AK=AC+AB=，即线段CK长的最大值是． 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