第一学期期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.若是最简二次根式，则a的值可能是( )A．－2B．2C.D．82．若△ABC∽△DEF，相似比为4:3，则对应面积的比为( )A．4:3B．3:4C．16:9D．9:163．笔筒中有9支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1～9的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是( )A.B.C.D.4．下列计算正确的是( )A.－＝B.＝1C．(2)2＝24D．3×2＝65．已知tanα＝，α是锐角，则sinα的值是( )A.B.C.D.6.若一元二次方程x2＋bx＋5＝0配方后为(x－3)2＝k，则b，k的值分别为( )A．0，4B．0，5C．－6，5D．－6，47．将点A(－2，3)平移到点B(1，－2)处，正确的移法是( )A．向右平移3个单位长度，向上平移5个单位长度B．向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度C．向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度D．向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度8．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据CD＝10m，α＝45°，β＝50°6
设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为( )A．x＝(x－10)tan50°B．x＝(x－10)cos50°C．x－10＝xtan50°D．x＝(x＋10)sin50°9．有一张长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是( )A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，等腰直角三角形DEF的顶点D，E分别在边AC，AB上，且ED⊥AC于点D，连结AF并延长交BC于点G.已知DE＝EF＝2，则BG的长为( )A.B.C.D.(第10题) (第12题) (第14题)二、填空题(每题3分，共15分)11．化简：＝________．12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC，若DB＝4，DA＝2，DE＝3，则AC＝________．13．已知x＝m是关于x的一元二次方程x2＋3x－1＝0的根，则－＝________．14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积与最大面积之比等于________．15．在△ABC中，AB＝AC，若BD⊥AC于D，cos∠BAD＝，BD＝，则CD为________．三、解答题(16～18题每题8分，19～20题每题9分，21～22题每题10分，23题13分，共75分)16.计算：6
(1)÷2； (2)＋×－sin60°.17．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，求证：EG，HF互相平分．6
18.已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－2＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若m为负整数，求该一元二次方程的解．19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．(1)画出△ABC先向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2；(3)求△CC1C2的面积．6
20．有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球，小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．(1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果；(2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？21．某淘宝网店销售台灯，每个台灯售价为60元，每星期可卖出300个，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个．已知该款台灯每个成本为40元．(1)若每个台灯降x元(x＞0)，则每星期能卖出________个台灯，每个台灯的利润是________元．(2)在顾客得到实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？22．周末，小涛想用所学的数学知识测量一斜坡上松树AB的高度(松树与地面垂直)，测量时，他先选择在水平地面CD上的F处垂直于地面放置测角仪EF.从E点测得松树顶端A6
的仰角为45°，松树底部B的仰角为20°，已知斜坡上松树底部B到坡底C的距离BC＝6米，CF＝1米，坡角∠BCD＝30°，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，求松树AB的高度．(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)23.在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A，B重合)，分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．(1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；(3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系.6
答案一、1．B 2．C 3．C 4．D5．C 6．D 7．C 8．A9．C 点拨：设截去的小正方形的边长是xcm，由题意得(28－2x)(20－2x)＝180，解得x1＝5，x2＝19.∵20－2x＞0，∴x＜10.∴x＝19不符合题意，应舍去．∴x＝5.∴截去的小正方形的边长是5cm.故选C.10．A 点拨：∵ED⊥AC，BC⊥AC，∴ED∥BC，∴△EDA∽△BCA，∴＝，∴＝，∴AD＝.∵△EFD是等腰直角三角形，EF＝ED＝2，∴∠FED＝90°，∴EF∥AD，设ED和AF交于点O，则△EFO∽△DAO，∴＝＝＝，∴可设EO＝5x，OD＝12x，∴5x＋12x＝2，∴x＝，∴EO＝5x＝.∵EO∥BG，∴△AEO∽△ABG，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴BG＝，故选A.二、11．2021 12．13．－4 点拨：把x＝m代入x2＋3x－1＝0，得m2＋3m－1＝0.所以m2＝1－3m.所以－＝－＝－4.14． 点拨：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4.当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，∴AD＝＝＝.∵△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AE＝，∴△ADE的最小面积＝××＝；当D与C重合时，△ADE的面积最大．∵△ADE∽△ABC，
∴＝，∴＝，∴AE＝，∴△ADE的最大面积＝×4×＝.∴△ADE的最小面积与最大面积之比＝＝.15.1或5 点拨：①如图①，若△ABC为锐角三角形，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°.∵cos∠BAD＝＝，∴可设AD＝2x，AB＝3x.∵AB2＝AD2＋BD2，∴9x2＝4x2＋()2，解得x＝1或x＝－1(舍去)，∴AB＝AC＝3x＝3，AD＝2x＝2，∴CD＝AC－AD＝1；②如图②，若△ABC为钝角三角形，同理可得，AD＝2，AB＝AC＝3，∴CD＝AC＋AD＝5.三、16．解：(1)原式＝(4－2＋12)÷2＝14÷2＝7.(2)原式＝＋×－＝＋－＝－＋.17．证明：如图，连结EH，GH，GF.∵E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，∴AB∥EH∥GF，GH∥EF.∴四边形EHGF为平行四边形．∵GE，HF分别为平行四边形EHGF的对角线，∴EG，HF互相平分．18.解：(1)∵方程x2＋2(m＋1)x＋m2－2＝0有实数根，∴Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－2)＝8m＋12≥0，解得m≥－.
(2)∵m≥－且m为负整数，∴m＝－1，∴原方程为x2－1＝0，解得x1＝－1，x2＝1.19．解：(1)如图所示．(2)如图所示．(3)如图所示．△CC1C2的面积为×3×6＝9.20．解：(1)用列表法表示所有可能出现的结果如下： 转盘摸球 2461(2，1)(4，1)(6，1)3(2，3)(4，3)(6，3)5(2，5)(4，5)(6，5)共有9种不同结果，即(2，1)，(2，3)，(2，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(6，1)，(6，3)，(6，5)．(2)公平．理由如下：列出两次得数之和的所有可能的结果如下： 转盘摸球 24612＋1＝34＋1＝56＋1＝732＋3＝54＋3＝76＋3＝952＋5＝74＋5＝96＋5＝11共有9种等可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，∴P(小杰赢)＝＝，P(小玉赢)＝＝，因此游戏是公平的．21．解：(1)(300＋30x)；(20－x)(2)由题意，得(20－x)(300＋30x)＝6480，解得x1＝8，x2＝2(舍去).60－8＝52(元)．
答：应将每件的售价定为52元．22．解：如图，过点A作AM⊥DF，垂足为M，过点E作EG⊥AM，垂足为G.由题意得A，B，M三点共线．∵松树底部B到坡底C的距离BC＝6米，斜坡的坡角为30°，∴在Rt△BMC中，MC＝BC·cos30°＝6×＝9(米)．∵CF＝1米，∴MF＝9＋1＝10(米)，∴GE＝10米．∵∠AEG＝45°，∴AG＝EG＝10米．在Rt△BGE中，BG＝GE·tan20°≈10×0.36＝3.6(米)，∴AB＝AG－BG≈10－3.6＝6.4(米)．答：松树AB的高度约为6.4米．23．解：(1)是．理由：∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，∴∠AED＋∠ADE＝135°，∠AED＋∠CEB＝135°，∴∠ADE＝∠CEB，在△ADE和△BEC中，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．(2)如图，E1和E2均是矩形ABCD的边AB上的强相似点．(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM.∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM.由折叠可知△ECM≌△DCM，
∴∠ECM＝∠DCM＝∠BCE，CE＝CD＝AB，∴∠BCE＝∠BCD＝×90°＝30°，∴在Rt△BCE中，cos∠BCE＝＝cos30°＝，∴＝.
