第一学期期中测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.二次根式中x的取值范围是( )A．x≥6B．x≤6C．x＜6D．x＞62．在平面直角坐标系中，将点P(－3，2)向右平移3个单位得到点P′，则点P′关于x轴的对称点的坐标为( )A．(0，－2)B．(0，2)C．(－6，2)D．(－6，－2)3．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，下列变形正确的是( )A．(x＋5)2＝16B．(x＋10)2＝91C．(x－5)2＝34D．(x＋10)2＝1094．若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为( )A．7B．11C．2D．15．下列图形中，与如图所示的△ABC相似的是( ) A B C D6．如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为12的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为( )A．(－x，－y)B．(－2x，－2y)C．(－2x，2y)D．(2x，－2y)7．已知m、n是方程x2－2x－1＝0的两根，且(m2－2m＋a)(3n2－6n－7)＝8，则a的值为( )A．－5B．5C．－3D．310
8．某小区有一块长方形的草地，这块草地的宽为(－)m，为美化小区环境，给这块长方形草地围上白色的低矮栅栏，所需的栅栏的长度为(10－2)m，那么这块草地的面积为( )A．24m2B．(24－8)m2C．48m2D．(48－16)m29．如图，在一块长为30m，宽为24m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53m2，那么小路的宽为( )A．1mB．1.5mC．2mD．2.5m(第9题) (第10题) (第13题)10．如图，Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝3BO，点B在反比例函数y＝的图象上，OA交反比例函数y＝(k≠0)的图象于点C，且OC＝2CA，则k的值为( )A．－2B．－4C．－6D．－8二、填空题(每题3分，共15分)11．化简：＝________．12．在△ABC和△DEF中，＝.要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是________________(只需填写一个正确的答案)．13．把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE交AC于点F，则＝________．14．关于x的方程ax2＋2x－a＋2＝0(a是已知数)有以下三个结论：①当a＝0时，方程只有一个实数解；②当a≠0时，方程有两个不相等的实数解；③当a是任意实数时，方程总有负数解，其中正确的是________(填序号)．15．请阅读下列材料：问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．10
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝.把x＝代入已知方程，得＋－1＝0.化简，得y2＋2y－4＝0，故所求方程为y2＋2y－4＝0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的倒数，则所求方程为________．三、解答题(16～19题每题8分，20题9分，21～22题每题10分，23题14分，共75分)16．计算：(1)－＋(＋1)(－1);(2)×÷.17．解下列方程：(1)2x2＋5x＋3＝0;(2)(x－2)(x－4)＝12.18．已知x＝2＋，y＝2－，求下列代数式的值：(1)x2－y2；(2)－.10
19．如图，△ABC的中线BE，CD相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DF，EG，试猜想DF与EG有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想．20．已知关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为正整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．21．某水果商场销售一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？10
22．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE＝FD，AF的延长线交BC的延长线于点H，AE的延长线交DC的延长线于点G.(1)求证：△AFD∽△GAD；(2)如果DF2＝CF·CD，求证：BE＝CH.23．如图①，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC＝60°.①求证：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的长．(2)已知锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P点，连结AP.如图②.①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．10
10
答案一、1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．B7．C 点拨：∵m、n是方程x2－2x－1＝0的两根，∴m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，∴m2－2m＝1，n2－2n＝1，∴代入(m2－2m＋a)(3n2－6n－7)＝8得(1＋a)(3×1－7)＝8，解得a＝－3.故选C.8．B 9．A10．D 点拨：过点C作CH⊥x轴于H，过点B作BE⊥x轴于E.设B(m，n)．∵∠BOC＝∠CHO＝∠BEO＝90°，∴∠COH＋∠HCO＝90°，∠COH＋∠BOE＝90°，∴∠BOE＝∠HCO，∴△COH∽△OBE，∴＝＝.∵AO＝3OB，OC＝2CA，∴CO＝2OB，∴OH＝2n，CH＝2m，∴C(－2n，2m)，∵mn＝2，∴k＝－4mn＝－8，故选D.二、11．－312．∠B＝∠E(答案不唯一) 13．14．①③ 点拨：①当a＝0时，原方程化为2x＋2＝0，解得x＝－1，所以方程只有一个实数解，正确；②当a≠0时，原方程为一元二次方程，Δ＝4－4a(－a＋2)＝4a2－8a＋4＝4(a－1)2≥0，方程有两个不相等的实数解或两个相等的实数解，所以②错误；③当a＝0时，方程的解为x＝－1，当a≠0时，(ax－a＋2)(x＋1)＝0，方程的解为x1＝，x2＝－1，即方程总有负数解，故③正确．故答案为①③.15．y2－y－1＝0 点拨：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝，把x＝代入已知方程，得＋－1＝0，化简，得y2－y－1＝0.故答案为y2－y－1＝0.三、16．解：(1)原式＝3－2＋3－1＝＋2.(2)原式＝2××＝8.10
17．解：(1)方程两边同除以2，得x2＋x＋＝0，移项，得x2＋x＝－，配方，得x2＋x＋＝－＋，∴＝，∴x＋＝或x＋＝－，∴x1＝－1，x2＝－.(2)原方程可化为x2－6x－4＝0，∵a＝1，b＝－6，c＝－4，∴b2－4ac＝(－6)2－4×1×(－4)＝52，∴x＝＝＝3±，∴x1＝3＋，x2＝3－.18．解：(1)∵x＝2＋，y＝2－，∴x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝(2＋＋2－)×(2＋－2＋)＝4×2＝8.(2)－＝，由(1)得x2－y2＝8，∴原式＝＝＝8.19．解：DF＝EG，DF∥EG.证明：连结AO.∵D是AB的中点，F是BO的中点，∴DF∥AO，且DF＝AO.同理可得EG∥AO，且EG＝AO，∴DF＝EG，DF∥EG.20．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2－4＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[2(m－1)]2－4(m2－4)＝－8m＋20＞0，解得m＜.(2)∵m为正整数，∴m＝1或m＝2.当m＝1时，原方程为x2－3＝0，解得x＝±，不合题意，舍去；当m＝2时，原方程为x2＋2x＝0，10
解得x1＝0，x2＝－2，满足题意，∴m＝2.21．解：(1)设每次下降的百分率为a，根据题意，得50(1－a)2＝32，解得a＝1.8(舍去)或a＝0.2＝20%.答：每次下降的百分率为20%.(2)设每千克应涨价x元，由题意得(10＋x)(500－20x)＝6000，整理，得x2－15x＋50＝0，解得x1＝5，x2＝10.因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元．22．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF.∵AB∥CD，∴∠G＝∠BAE＝∠DAF，又∵∠D＝∠D，∴△AFD∽△GAD.(2)∵DF2＝CF·CD，∴＝.∵AD∥BH，∴＝，∴＝.∵AD＝CD，∴CH＝DF.∴BE＝CH.23．(1)①证明：∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP.10
②解：∵△ABP∽△BCP，∴＝，∴PB2＝PA·PC＝12，∴PB＝2.(2)①解：如图，∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，∴△AEC≌△ABD，∴∠1＝∠2.又∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠5＝60°.②证明：设BD与AC交于点F，易知△ADF∽△PCF，∴＝，即＝.又∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△DFC，∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°.∵∠BPC＝180°－∠CPD＝120°，∴∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°，∴P点为△ABC的费马点．10
