不等式中的恒成立问题探索一、选择题1．已知，，，，则下列不等式中恒成立的是()．A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】选项：若，，，，则，；此时，可知错误；选项：若，则，可知错误；选项：，则；若，则，可知错误；选项：若，根据不等式性质可知，正确.本题正确选项：2．若，则下列不等式不恒成立的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，由得恒成立．对于B，由可知恒成立．对于C，由于，故当时，不成立，所以C不恒成立．对于D，由得，所以恒成立．故选C．3．已知,下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A选项，因为，所以.当时即不满足选项B,C,D.故选A.4．下列命题中，正确的是()A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】时，若，则，排除；时，成立，不成立，排除；时，成立，不成立，排除；故选D.5．已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的最大值为()A．B．7C．D．8【答案】B【解析】，且，故，整理即，又均为正实数，故，又对于任意满足的正实数，均有恒成立，整理可得恒成立，令，令，时所以在上递增，，因此，实数的最大值为7，故选B.6．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（）A．或B．或C．D．【答案】C【解析】解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式对一切实数都成立，则，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.7．已知，不等式的解集为.若对任意的，恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题得，所以b=4,c=6.所以.因为对任意的，恒成立，所以对任意的，恒成立，因为y=在[-1,0]上的最大值为4.所以m≥4.故选：D8．在上定义运算，若存在使不等式成立，则实数的取值范围为 A．B．C．D．【答案】C【解析】令因为即也就是在时，，取最大值为6所以解得故选C9．若关于x的一元二次不等式的解集为R，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题，因为为一元二次不等式，所以又因为的解集为R所以故选B10．不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，不等式即，恒成立．当时，由题意可得，且，解得．综上，实数的取值范围是，故选C．11．在R上定义运算，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得：即：对任意恒成立设则（当且仅当，即时取等号）即，即本题正确选项：12．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：①当时，即，若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集，符合题意；若时，原不等式为，无解，不符合题意；②当时，即，若的解集是空集，则有，解可得，则当不等式的解集不为空集时，有或且，综合可得：实数的取值范围为；故选C．二、填空题13．已知，若不等式恒成立，求的最大值为____.【答案】【解析】不等式恒成立,则恒成立.因为，当且仅当时等号成立，所以，即的最大值为.14．若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______________【答案】【解析】不等式可化为，令，则对于，不等式恒成立，等价于，因为恒成立，所以为上的增函数，所以，解得，故答案为.15．关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由题得，因为，所以.当且仅当x=-1时得到等号.所以a≥-2.故答案为：16．有下面四个不等式：①；②；③；④．其中恒成立的有______个．【答案】2【解析】解：①因为2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，所以a2+b2+c2≥2（ab+bc+ca）成立，所以①正确．②因为，所以②正确．③当a，b同号时有，当a，b异号时，，所以③错误．④ab＜0时，不成立.其中恒成立的个数是2个．三、解答题17．已知函数（1）解不等式；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）或所求不等式解集为：（2）当时，可化为：又（当且仅当，即时取等号）即的取值范围为：18．已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）当时，对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)因为的解集为，所以关于的方程的两个根为.所以，解得.(2)由题意得对任意恒成立，所以，解得，即的取值范围是.19．已知函数，满足，，且函数的值域为．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设函数，对任意，存在，使得求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据，可得．由函数的值域为知，方程，判别式，即.又，，即，解得：，． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)的对称轴为，则当时，取得最大值为9，若对任意，存在，使得，即，即对任意恒成立．设，则，即，解得．的取值范围是20．已知函数（a为常数）．（1）求不等式的解集；（2）当a＞0时，若对于任意的[3，4]，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）a＞【解析】解：（1）不等式化为，即，①a=0时，不等式变为，解得＜1；②a＞0时，不等式变为，若a＞2，则＜1，解得＞1或＜，若a=2，则=1，解得≠1，若0＜a＜2，则＞1，解得＞或＜1；③a＜0时，不等式变为（-）（-1）＜0，解得＜＜1；综上所述，=0时，不等式的解集为（-∞，1）；0＜a＜2时，不等式的解集（-∞，1）∪（，+∞）；a=2时，不等式的解集（-∞，1）∪（1，+∞）；a＞2时，不等式的解集（-∞，）∪（1，+∞）；a＜0时，不等式的解集（，1）；（2）由（1）知：①0＜a＜2时，，（-∞，1）∪（，+∞），需[3，4]⊂（-∞，1）∪（，+∞），∴＜3，即2＜3a，解得2>a＞；②a=2时，（-∞，1）∪（1，+∞），符合条件；③a＞2时，（-∞，）∪（1，+∞），符合条件；综上所述，符合条件的a的取值范围是a＞．21．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以.所以，即，解得或.故不等式的解集为.（2）当时，不等式恒成立等价于在上恒成立.因为，所以，则.当且仅当，即时，等号成立.故的取值范围为.
