第五讲第五讲数列规律第三级下数列规律第五级上找规律——数列与图形（三年级暑假第一讲）第一级下我会填一填（一年级秋季第一讲）第一级下我会填一填在本讲中主要学会找简单的数列规律．第三级下数列规律在本讲中让学生会找典型的数列（如等差数列、等比数列、斐波那契数列）的规律；会找图形中数的运算规律．第五级上找规律——数列与图形本讲中主要学会发现简单的数表规律并据此预测空缺项；并会寻找较复杂数列的规律．第3级下·尖子班·教师版1\n第五讲课前铺垫你发现这个图中数的排列有什么规律呢？杨辉，杭州钱塘人，中国南宋末年数学家．最早发现此图这些数的排列规律，为了纪念他就把这个三角形数阵叫做“杨辉三角”，杨辉三角的特点就是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．【教学说明】通过这个题激发学生对数字排列的兴趣，培养学生的观察能力，体会到数学中的数字美．在这道题中，每个数都是它上面两个数的和，发现了这个规律就可以继续往下填了，这就是非常有名的杨辉三角．第3级下·尖子班·教师版2\n第五讲同学们，我们经常会看见一列数，例如：1，3，5，7，9，……，这些数的排列都是有规律的．如果要在这列数后面继续写几个数，你会写吗？其实只要我们仔细观察这些数排列的规律，我们就能按照这种规律继续往下写了．下面我们就一起来研究这有趣的数列吧！第3级下·尖子班·教师版3\n第五讲认识常见的数列一定要细心观察，认真计算．例1下面每列数都有什么规律？你能继续往下填吗？⑴1，3，5，7，（），（）．⑵2，4，6，8，（），（）．⑶1，5，9，13，（），（）．⑷25,20,15,（），（）．像上面这些数列，每相邻的两个数之间相差的数都相同，这样排列的一列数，叫等差数列．【例题分析】这是一组等差数列，通过这个题的学习老师引导学生认识什么是等差数列．⑴这是一组单数列，每两个相邻的数之间相差2．第3级下·尖子班·教师版4\n第五讲⑵这是一组双数列，每两个相邻的数之间相差2．⑶每两个相邻的数之间相差4．⑷每两个相邻的数之间相差5．【教学说明】通过找这四组数的排列规律，让学生来发现它们的相同和不同，然后进行规律总结．每相邻两个数相差的数都相同，这样的数列就是等差数列．如果等差数列是从小到大排列是就是递增的等差数列，如果等差数列是从大到小排列的就是递减的等差数列．⑴⑵⑶都是递增的等差数列，⑷是递减的等差数列．第3级下·尖子班·教师版5\n第五讲根据下面图形的变化规律，写出相应的数列，然后判断这些数列是等差数列吗？（1）（）（）（）（）（）（）（）（1）（）（）（）（）（）（）（）（）（）【例题分析】这道题中让学生根据图形中的变化规律，写出对应的数列，并能找到这两组数列排列的规律，然后再根据这种规律继续往下写几个数．⑴相应的数列是：1、2、4、7、11往下继续写是（+5）16、（+6）22、（+7）29．这组数列不是等差数列，从左边起每相邻两个数的差分别多1、多2、多3、多4……⑵像这样图形变化的规律，是相隔的图形数量增加（或减少），但是增加或减少的数量不一样，相应的数列是：往下继续写是：5、10、6、12、7、14……不是等差数列，这样的数列叫做双重数列．第3级下·尖子班·教师版6\n第五讲【教学说明】通过这两道题的学习，目的在于强化等差数列的特点，在此基础上来认识双重数列．双重数列是指两个数列交替排在一起而形成的一种数列,位于奇数项的数字构成一种规律,位于偶数项的数字构成另一种规律.例2你知道下面数列的规律吗？请继续往下写．⑴1,2,4，8，（），（）．⑵2,6,18,(),()．⑶1,10,100,1000,(),()．我们发现，第一个数列后面的数都是前一个数乘以2的得数，第二个数列后面的数都是前一个数乘以3的得数，第三个数列后面的数都是前一个数乘以10的得数，这样的数列是以相同的倍数关系变化的，我们叫做等比数列．【例题分析】这是一组等比数列，通过这个题的学习老师引导学生认识什么是等比数列．⑴⑵第3级下·尖子班·教师版7\n第五讲⑶这两个数列每两个数之间相乘的数都是一样的，这样的数列是等比数列．【教学说明】等比数列对于二年级孩子来说是一个难点，尤其对于没有乘法基础的学生来说更是不容易理解．为此在计算中，遇到两位数乘一位数的乘法，老师要对其进行铺垫．例3下面我们一起来研究一个关于兔子繁殖的问题吧！第3级下·尖子班·教师版8\n第五讲有一个人养了一对刚出生的小兔子，一般而言，一对兔子如果第一个月出生，第二个月长大，第三个月就能生一对小兔子，以后每个月都能生出一对小兔子．而新生的一对小兔子经过一个月可以长成大兔子，以后也是每月生一对小兔子．假如所有兔子都不死，问：从一对小兔子出生经过一年的时间一共有多少对兔子？我们把每个月的兔子对数写下来，观察这个数列，你发现有什么规律？在这一组数中，1，1，2，3，5，8，13……每一个数叫一项．它的前两项都是1，从第三项开始，后项是前两项的和：1+1=21+2=32+3=53+5=85+8=138+13=2113+21=34……这个数列是意大利数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，因此这个数列就叫做斐波那契数列，也叫兔子数列．第3级下·尖子班·教师版9\n第五讲【例题分析】对于斐波那契数列，老师可以引导学生通过兔子繁殖问题来找规律：第一个月小兔子刚出生，就是一对；第二个月小兔子长成大兔子，还是只有这一对;第三个月这对大兔子就要生一对小兔子，一共有两对;第四个月，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;……依次类推可以列出下表：经过月数：一二三四五六七八九十十一十二兔子对数：1123581321345589144数字1，1，2，3，5，8……构成了一个数列．这个数列前面相邻两项之和，构成了后一项．这就是斐波那契数列也叫做兔子数列．找出下面数列排列的规律，并填出（）里面的数．⑴1，3，4，7，11，（），（），（）⑵5，9，14，23，37，（），（）【例题分析】⑴从第三个开始，每个数都是前两个数的和，711（18），1118（29），1829（47）．⑵从第三个开始，每个数都是前两个数的和，2337（60），3760（97）．第3级下·尖子班·教师版10\n第五讲三两漆从前，有个诡计多端的财主，经常欺骗村里的穷人，村里的穷人都被他坑遍了，可是谁也拿他没有办法．一天，财主又欺负了村里的一个穷人，大家都觉得很气愤，想惩治他，便找来村中的智者出主意，智者爽快地答应了．第二天，智者从杂货店里买来三两漆，寄放在财主家里．财主见是白送上门来的东西，便爽快地答应了．之后，智者便穿上一身整洁的衣服去告状．智者见了县官，说财主昧了他四两金子．县官一听，传来财主，要他与智者当堂对质．财主感到莫名其妙，瞪着眼说：“我没有昧过谁的金子呀？”县令—拍惊堂木，厉声说道：“看来你是不打不招！来人，重打二十大板！”智者在一旁说：“你昧了我四两金子，怎么说没有？招了吧！”财主这才恍然大悟，忙解释说：“噢，不是四两金子，是三两漆!”智者一本正经地说：“明明是四两金子，你为啥说是三两七？”财主有口难辩，最后只得依从县令的判决，赔给智者三两七金子．你知道智者的计谋妙在何处吗？【答案】智者的计谋妙在“三两漆”与“三两七”同音．第3级下·尖子班·教师版11\n第五讲例4数列的变化非常多，我们应动脑筋，仔细分析才能找出来．下面（）里面的数你会填吗？⑴4，6，9，13，（），24．⑵1，4，9，（），25，36，（），64，81，100。⑶4，8，16，（），64，（），256．⑷2，1，4，1，6，2，8，3，10，（），（），8，14．⑸1，2，2，4，8，()，256．【例题分析】这七组数列的规律具体分析如下：⑴这是一个依次增加的数列，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，这样依次大4，5，6，……，那么括号里的数应该比13大5，是18．⑵此数列是个自然数的自乘积数列．第一个数是111，第二个数是224，第三个数是339，第四个数是4416，第七个数就是7749⑶我们发现这个数列增长很快，仔细分析从第二个数起，每个数都是前一个数的2倍．依此类推，第一个（）应该是16232，第二个（）应是642128．⑷这个数列既不是一个递增数列，也不是一个递减数列，如果我们先看奇数位上的数是2，4，6，8，10，后面（）填12，是个偶数数列；看偶数位上的数是兔子数列1，1，2，3，后一个数是前两个数相加得到的，所以（）里应填5．⑸从第三项开始，每一项是前两项的积，故第一个（）应是4832；后一个数应该是328256．第3级下·尖子班·教师版12\n第五讲【拓展选讲】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.⑴100，1，95，4，90，9，85，16，（80），（25），75，36．⑵1，4，5，9，（14），（23），（37）．⑶1，2，5，14，41，(122)．⑷1，2，2，3，3，4，(4)，(5)，（5），（6）．⑸(8)，(4)，10，5，12，6，14，7．【例题分析】⑴单数位上的数每次少5，双数位上的数：1，4，9，16，25，36，分别是11，22，33，44，55……，这是一个双重数列．⑵从第三项开始，每一项是前两项的和．⑶法一：差值为：1，3，9，27，…，所以下一个差值是81，应填数8141122；法二：后项=前项31；⑷在观察过程中，发现相邻两数之间没有固定不变的规律，这时我们不妨隔一个数来观察，把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5．⑸把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4．图形中数的排列规律第3级下·尖子班·教师版13\n第五讲例5根据前几幅图的规律，在下列各图中填出所缺的数．⑴⑵【例题分析】每个图中数字的排列是有规律的，具体分析如下：⑴这个图中三个数的规律是：左边两个数相乘加上1就等于右边的数．如2317，33110，3413，那么第四个图中“？”处就应该是：35116.⑵每个三角形上面的数与左边的数相乘再加上右边的数恰好等于三角形内的数．如34517．所以“？”处应填123023032．【教学说明】对于观察图中的数字找规律问题是一个难点，老师要引导学生来找这些数的运算的规律，此时又涉及到运算问题，老师要适当引导学生进行计算．第3级下·尖子班·教师版14\n第五讲【拓展选讲】在空白处填上合适的数．⑴⑵⑶⑷【例题分析】⑴每个图中三个小圆内数的乘积等于大圆中的数．1236，23424．问号处应填34560．⑵观察前面的两个图我们发现，每个图中的四个数都是相互关联的，左边的数和右边的数相差2，然后继续观察发现左边的数+右边的数=下面的数。而下面的数+10=上面的数，找到规律就能填出第三个图中的数。第三图知道了左边的数，那么右边的数应该是4+2=6，下面的数就是4+6=10，上面的数就应该是10+10=20.第3级下·尖子班·教师版15\n第五讲⑶三角形上面和左下两个数之差，乘以中间三角形内的数，积等于右下的数，所以(157)432.⑷上面两个小正方形中两数之和减去下面两个小正方形中两数之和，其差的2倍等于中间小正方形的数，所以中间是(1213)(78)10，10220.【拓展选讲】在下面各数阵中，第10行的第3个数分别是几（从左往右数）？132456109871112131415【例题分析】观察发现，奇数行的数字从左往右写，偶数行的数字从右往左写，第10行最左端第一个数为55，所以第10行的数从左往右是：55、54、53，从左往右数第三个数为53．拓展与提高在下面数阵中，第10行的第3个数是几（从左往右数）？123456789101112131415【例题分析】观察可知在图形中第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，…，第9行有第3级下·尖子班·教师版16\n第五讲9个数，12345678945，所以第9行的最后一个数为45，那么第10行为：46，47，48，49，…这样就可以得出第10行的第3个数应该是48．观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.⑴1，2，6，16，44，（），328．⑵１，4，9，（），64，169，441．【答案】⑴从第三个数开始都是前两个数和的2倍．(12)36，(26)216，(616)244，(1644)2120．⑵第一个数是111，第二个数是224，第三个数是339，第五个数是8864，因此第四个数应该是5525．第3级下·尖子班·教师版17\n第五讲附加题(老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用．)下面的数列是有一定规律的，其中有一个数与其他规律是不符的，把它找出来．用圆圈圈上．⑴54，18，27，90，35，45⑵7，1，31，46，55，71．⑶3，4，7，11，18，30．【例题分析】⑴观察发现，此数列中除35外，其他数都是9的倍数，故应把35圈起来．⑵这些数除了46以外，其他的数均为奇数．所以应把46圈上．⑶观察此数列，我们发现，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，而111829，不等于30．所以30不符合此数列的规律，应把30圈起来．下面每组里各有四个数，这些数目的各位数字是按一定的规则排列的．请你也按照它们的规则，在“□”中填入适当的数字．⑴132，243，465，57□．⑵1223，2334，4556，78□□．⑶12321，23432，56765，789□□．【例题分析】⑴这是把123，234，456等数目的个位数和十位数字换了，所以567的个位数和十位数字换，就成为576．或者也可以这样认为：个位数都比十位上的数字少1，所以是576，□中填6．⑵这是把123，234，456等数目的中间的数字又增加一个，所以把789中8重复一遍．所以答案是7889．⑶两头相对的数字相同，且构成数的5个数中间的数最大，又比左右的数大1，故答案第3级下·尖子班·教师版18\n第五讲是78987．下面数列的每一项是由3个数组成的数组表示的，它们依次是(1，5，10)，(2，10，20)，(3，15，30)，……，那么，第50个数组内的三个数分别是什么？【例题分析】我们发现每一组的第一个数和它所在组是第几组是一样的．即第一组的第一个数是l，第二组的第一个数就是2，第几组的第一个数就是几．而每一组的第二个数都是第一个数的5倍，第三个数是第一个数的10倍．这样第50个数组三个数分别是(50，250，500)．1.找出下面各数列的规律，然后填空．⑴100，95，90，85，80，(75)，70．⑵1，2，4，8，16，(32)，64．⑶2，1，3，4，7，(11)，18，29，47．⑷1，2，5，10，17，(26)，37，50．⑸1，9，2，8，3，(7)，4，6，(5)，5．⑹1，3，3，5，7，7，9，11，(11)，(13)．2.在下列各图中填出所缺的数．⑴⑵第3级下·尖子班·教师版19\n第五讲⑶【答案】⑴20222418，“？”处应该填18．⑵13（44）5，“？”处应该填5．⑶1064970，“？”处应该填70．3.下面的图形有什么规律，请写出“？”里的数．⑴⑵⑶⑷第3级下·尖子班·教师版20\n第五讲【答案】⑴533617,“？”填17．⑵4416，“？”处填16．⑶436236，“？”处填36．⑷（255）215．4.找一找这些数的排列规律，在□内填上合适的数．【答案】答案如下：5.小兔每天都去地里拔萝卜，他第一天拔了8个萝卜，然后每天都比前一天多拔5个萝卜，请问第9天的时候小兔要拔几个萝卜？【答案】48个萝卜。6.一个细胞从开始一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，问经第3级下·尖子班·教师版21\n第五讲过6次分裂，一个细胞共变成几个?【答案】一个细胞开始的时候是1个，第一次分裂变成2个，第二次分裂变成4个，第三次分裂变成8个，第四次分裂变成16个，第五次分裂变成32个，第六次分裂变成64个，这些数排列是一个等比数列．三种鱼阿凡提买来带鱼、黄花鱼、比目鱼三种．知道每条带鱼和3条黄花鱼一样重，2条黄花鱼和3条比目鱼一样重．比一比，一条带鱼、一条黄花鱼、一条比目鱼哪条最重？哪条最轻？【答案】三种鱼带鱼最重，比目鱼最轻．第3级下·尖子班·教师版22\n第五讲鱼缸里有10条金鱼，死了1条，还有桌子上有8支点燃的蜡烛，被风吹灭了5支，几条呢？最后桌子上还剩几支蜡烛？一条80厘米的绳子，剪断后还是80厘米，两对父子去买帽子，每人买一顶，可为什为什么呢？么只买了三顶呢？什么数字倒立后能变大？为什么昭昭买玩具时从不向父母要一分钱呢？玲玲刚上幼儿园还没学过算术，为什么老在一次考试中，一对同桌交了一模一样的考师却说她的数学是数一数二的呢？卷，但老师认为他们肯定没有作弊，这是为什么？【答案】1．10条，死鱼也是鱼2．还剩5支3．绳子是环形的4．他们是祖孙三人．5．数字“6”6．因为一分钱买不到玩具7．她只会从一数到二8．他们交的都是白卷.第3级下·尖子班·教师版23\n第五讲威灵顿公爵的道歉1815年6月，威灵顿公爵统率反法联军在滑铁卢大败拿破仑军队，因此声名大噪．但他回到英国后并没有因此而自恃功高，仍旧谦恭待人．长久以来,他很想买下家旁边的一块空地,可是由于一直在前方作战，总没有时间料理此事．现在，他解甲归田了，于是就让部下去跟土地的主人商议买卖事宜．由于主人正好缺钱，加上知道买主是赫赫有名的威灵顿公爵，双方很快就成交了．当部下兴冲冲地回报事情已经办妥时,威灵顿问：“你用多少钱买的?”部下说：“本来那块地应该值1500英镑,但我用1000英镑就买下来了．因为他知道是公爵您要买那块地，所以愿意廉价出让．”威灵顿听了报告，立刻打断下属的话，并斥责道：“你把我的名誉以500英镑的价钱贱卖了吗？难道就因为我是威灵顿公爵，就可以不讲公道吗？”第二天，威灵顿立即派人给土地的主人补送了500英镑，并写了一封信诚挚地向对方道歉．注：不因小善而不为，不因小恶而为之．拥有不该得到的东西，可以使小人高兴；放弃不该得到的东西，可以使君子快乐．第3级下·尖子班·教师版24\n第五讲第3级下·尖子班·教师版25
