8.6双曲线第八章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程.3.掌握双曲线的定义、标准方程及简单几何性质,并能解决有关问题.备考指导双曲线是高考命题的重点,考查频率很高,一般出现在选择题或填空题中,为中等难度.在近几年高考中,双曲线的考查方式越来越灵活.本节要注意双曲线的生成过程和实际应用问题,常用的方法有定义法、公式法、代入法、待定系数法、点差法、设而不求法等.要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.双曲线定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.温馨提示若F1,F2为两个定点,点M满足||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0,则有如下结论:(1)当2a<|F1F2|时,点M的轨迹是双曲线;(2)当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是两条射线;(3)当2a>|F1F2|时,点M的轨迹不存在.\n2.双曲线的标准方程和几何性质\n问题思考方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是什么?若A>0,B<0,则方程Ax2+By2=1表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0,则方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线,故Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是AB<0.\n\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内到点F1(0,5),F2(0,-5)的距离之差的绝对值等于10的点的轨迹是双曲线.()××√√√\n2.(多选)已知双曲线(λ≠0),则不因λ改变而变化的是()A.渐近线方程B.顶点坐标C.离心率D.焦距3.已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()ACA\n\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1双曲线的定义例1(1)平面内有两个定点F1,F2和一个动点M,设有p:||MF1|-|MF2||是定值,q:点M的轨迹是双曲线,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B当||MF1|-|MF2||是定值时,动点M的轨迹不一定是双曲线.当点M的轨迹是双曲线时,一定能得到||MF1|-|MF2||是定值.因此p是q的必要不充分条件.\n(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=.\n拓展延伸本例(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少?\n解题心得1.理解双曲线的定义,注意关键点“距离的差的绝对值为非零常数”,既要明确是距离的差的绝对值,又要明确这一非零常数的取值限制.2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,建立与|PF1|·|PF2|的联系.\n对点训练1(1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆B如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,因为N为MF1的中点,O为F1F2的中点,所以|MF2|=2.因为线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,所以|PM|=|PF1|.所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|=4.由双曲线的定义可得点P的轨迹是双曲线.\n(2)设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.\n能力形成点2双曲线的标准方程A\n(2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为.设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A,B,则|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2<|C1C2|=6,所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支.又a=1,c=3,则b2=8.\n解题心得求双曲线标准方程的方法(1)定义法.(2)待定系数法.①当双曲线的焦点位置不确定时,设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0);\n对点训练2D\n能力形成点3双曲线的几何性质命题角度1求离心率的值或取值范围D\nC\n命题角度2与渐近线有关的问题例4(1)(2020全国Ⅱ,理8)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32B\n(2)已知F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小的内角为30°,则双曲线C的渐近线方程是()A\n2.涉及过原点的直线与双曲线的交点,求离心率的取值范围问题,先要充分利用渐近线,对双曲线与直线的交点情况进行分析,再利用三角形或不等式知识解决问题.\n对点训练3A\nABCD\n\n\n2\n能力形成点4直线与双曲线的位置关系(1)求双曲线C的标准方程;(2)过点Q(1,1)的直线l与双曲线C交于M,N两点,且点Q恰好为线段MN的中点,求线段MN的长度.\n\n解题心得直线与双曲线的位置关系的判断方法和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似,但在联立直线方程与双曲线方程消元后,应注意二次项系数是否为0.对于中点弦问题常用“点差法”.\n\n\n第三环节 学科素养提升\n高频小考点——高考中双曲线的离心率问题答案:C\n\n\n\n解题心得1.求双曲线的离心率的值或取值范围,解答思路的关键是建立关于a,b,c的等式或不等式,然后转化为关于离心率e的关系式.2.求双曲线的离心率的值或取值范围的具体方法:(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.3.求解双曲线的离心率问题可以结合双曲线的几何性质,利用已学的平面几何和三角形的知识搭建起所涉及量的长度或角度的关系.
