9.6双曲线\n-2-知识梳理双基自测2311.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.注:若点M满足||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0.(1)当时,点M的轨迹是双曲线;(2)当时,点M的轨迹是两条射线;(3)当时,点M的轨迹不存在.距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距a<ca=ca>c\n-3-知识梳理双基自测2312.双曲线的标准方程和几何性质\n-4-知识梳理双基自测231(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)\n-5-知识梳理双基自测231实轴2a虚轴2bab\n-6-知识梳理双基自测2313.常用结论(1)渐近线的斜率与离心率的关系(2)若P为双曲线上一点,F为其对应的焦点,则|PF|≥c-a.(3)区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在椭圆中,a2=b2+c2,而在双曲线中,c2=a2+b2.\n2-7-知识梳理双基自测3415√×√√√\n-8-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-考点1考点2考点3例1(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为.(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=.(3)已知F是双曲线C:x2-y2=1的右焦点,P是C的左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为.思考如何灵活运用双曲线的定义求方程或者解焦点三角形?\n-13-考点1考点2考点3解析:(1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.\n-14-考点1考点2考点3△APF周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+2,由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a=2,即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2,当P在左支上运动到A,P,F'共线时,|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|=2,则有△APF周长的最小值为2+2+2=6.\n-15-考点1考点2考点3解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.\n-16-考点1考点2考点3对点训练1(1)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8(2)已知F为双曲线C:的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为.B44\n-17-考点1考点2考点3在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=8,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,①由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,②①-②,得|PF1||PF2|=4.\n-18-考点1考点2考点3(2)如图所示,设双曲线右焦点为F1,则F1与A重合,坐标为(5,0),则|PF|=|PF1|+2a,|QF|=|QF1|+2a,所以|PF|+|QF|=|PQ|+4a=4b+4a=28,故△PQF周长为28+4b=44.\n-19-考点1考点2考点3考向一已知离心率求渐近线方程思考双曲线的离心率与渐近线的方程有怎样的关系?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-20-考点1考点2考点3考向二已知渐近线方程求离心率例3(2021全国Ⅱ,理5)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为双曲线C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率为()思考求双曲线的离心率需要建立谁与谁的关系?A\n-21-考点1考点2考点3解析:不妨设|PF2|=1,则|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7,\n-22-考点1考点2考点3考向三由离心率或渐近线方程确定双曲线方程思考求双曲线方程的一般思路是怎样的?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-23-考点1考点2考点3考向四利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围思考如何求双曲线离心率的取值范围?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-24-考点1考点2考点32.求双曲线方程的一般思路是利用方程的思想,把已知条件转化成等式,通过解方程求出a,b的值,从而求出双曲线的方程.3.涉及过原点的直线与双曲线的交点,求离心率的范围问题,要充分利用渐近线这个媒介,并且要对双曲线与直线的交点情况进行分析,最后利用三角或不等式解决问题.\n-25-考点1考点2考点3对点训练2(1)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()DC\n-26-考点1考点2考点32\n-27-考点1考点2考点3点M在右支上,如图所示,∠ABM=120°,过点M向x轴作垂线,垂足为N,则∠MBN=60°.\n-28-考点1考点2考点3\n-29-考点1考点2考点3\n-30-考点1考点2考点3思考直线与双曲线的位置关系的判断的常见方法有哪些?\n-31-考点1考点2考点3\n-32-考点1考点2考点3\n-33-考点1考点2考点3解题心得直线与双曲线的位置关系的判断和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似,但是联立直线方程与双曲线方程消元后,注意二次项系数是否为0.对于中点弦问题常用“点差法”.\n-34-考点1考点2考点3\n-35-考点1考点2考点3\n-36-\n-37-\n-38-反思提升以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,思路也很清晰,但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断,从而导致错误,因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.
