第四章三角函数、解三角形\n-2-\n4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数\n-4-知识梳理双基自测2311.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为、、.按终边位置不同分为和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.端点正角负角零角象限角\n-5-知识梳理双基自测2312.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.(2)公式半径长|α|r\n-6-知识梳理双基自测2313.任意角的三角函数yx\n-7-知识梳理双基自测231MPOMAT\n2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)小于90°的角是锐角.()(2)若sinα>0,则α是第一、第二象限的角.()(3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.()(4)若角α为第一象限角,则sinα+cosα>1.()×××√√\n-9-知识梳理双基自测234152.下列各角与60°终边相同的角是()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测234153.已知扇形周长为10cm,面积是4cm2,则扇形的圆心角的弧度数是()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测234154.已知角α的终边在直线y=-x上,且cosα<0,则tanα=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-知识梳理双基自测234155.若角θ同时满足sinθ<0,且tanθ<0,则角θ的终边一定落在第象限.答案解析解析关闭由sinθ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合.由tanθ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限答案解析关闭四\n-13-考点1考点2考点3(3)已知角α为第三象限角,则2α的终边所在的象限为.思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角α所在的象限,如何求角kα,(k≥2,且k∈N*)所在的象限?第一或第二象限或y轴的非负半轴\n-14-考点1考点2考点3\n-15-考点1考点2考点3解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所在的象限即可.\n-16-考点1考点2考点3三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个二或第四CC\n-17-考点1考点2考点3\n-18-考点1考点2考点3(3)方法一(角的集合表示):\n-19-考点1考点2考点3方法二(象限等分法):\n-20-考点1考点2考点3考向一利用三角函数定义求三角函数值例2已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sinα+5cosα+4tanα=.思考已知角的终边上一点的坐标,如何求该角的三角函数值?求终边在一条确定直线的角的三角函数值应注意什么?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-21-考点1考点2考点3考向二利用三角函数线解三角不等式例3(1)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,且α∈[0,2π],则角α的取值范围是()思考三角函数的几何意义是什么?该几何意义有哪些应用?B\n-22-考点1考点2考点3\n-23-考点1考点2考点3\n-24-考点1考点2考点3解题心得1.用定义法求三角函数值的两种情况:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求解三角函数值;(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.2.三角函数线是三角函数的几何表示,正弦线、正切线的方向同纵轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同横轴一致,向右为正,向左为负.\n-25-考点1考点2考点3(3)函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为.A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角CB\n-26-考点1考点2考点3(2)由sinαtanα<0得角α是第二或第三象限角,所以角α是第三象限角.故选C.\n-27-考点1考点2考点3\n-28-考点1考点2考点3例4(1)已知扇形的半径为10cm,圆心角为120°,则扇形的弧长为,面积为.(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角α=弧度时,其面积最大,最大面积是.思考求扇形面积最值的常用思想方法有哪些?答案答案关闭\n-29-考点1考点2考点3\n-30-考点1考点2考点3解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积公式出发,在弧度制下先使问题转化为关于α的函数,再利用基本不等式或二次函数求最值.\n-31-考点1考点2考点3对点训练3(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角是弧度,扇形的面积是.(2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角α的大小为,α所在的扇形弧长l为,弧所在的弓形的面积S为.\n-32-考点1考点2考点3\n-33-审题线路图——挖掘隐含条件寻找等量关系典例如图,在平面直角坐标系xOy中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P的位置在点(0,0)处,圆在x轴上沿正向滚\n-34-审题要点:(1)已知条件:滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径为1;(2)隐含条件:点P转动的弧长是2;(3)等量关系:P转动的弧长等于弧长所对的圆心角;(4)解题思路:求点P坐标可借助已知的坐标(2,1),通过构造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函数定义可求出.答案:(2-sin2,1-cos2)\n-35-\n-36-反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解三角形等知识来解决.2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口.
