课时规范练17 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、基础巩固组1.已知角α的终边与单位圆交于点-45,35,则tanα=( )A.-43B.-45C.-35D.-342.若sinα<0,且tanα>0,则α是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是( )A.π3B.π6C.-π3D.-π64.若tanα>0,则( )A.sinα>0B.cosα>0C.sin2α>0D.cos2α>05.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( )A.1sin0.5B.sin0.5C.2sin0.5D.tan0.56.已知α是第二象限角,P(x,5)为其终边上一点,且cosα=24x,则x=( )A.3B.±3C.-2D.-37.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是( )A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]8.已知角α的终边上一点P的坐标为sin2π3,cos2π3,则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6〚导学号21500525〛9.函数f(α)=2cosα-1的定义域为 . 10.已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sinα+3cosα的值为 . 11.设角α是第三象限角,且sinα2=-sinα2,则角α2是第 象限角. 12.已知扇形的周长为40,则当扇形的面积最大时,它的半径和圆心角分别为 . 二、综合提升组13.已知角α=2kπ-π5(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|的值为( )A.1B.-1C.3D.-34\n14.(2022山东潍坊一模)下列结论错误的是( )A.若0<α<π2,则sinα<tanαB.若α是第二象限角,则α2为第一象限或第三象限角C.若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0),则sinα=45D.若扇形的周长为6,半径为2,则其圆心角的大小为1弧度〚导学号21500526〛15.函数y=sinx+12-cosx的定义域是 . 16.已知角θ的终边与480°角的终边关于x轴对称,点P(x,y)在角θ的终边上(不是原点),则xyx2+y2的值等于 . 三、创新应用组17.已知点A的坐标为(43,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转π3至OB,则点B的纵坐标为( )A.332B.532C.112D.132〚导学号21500527〛18.已知角θ的终边上有一点(a,a),a∈R,且a≠0,则sinθ的值是 . 课时规范练17 任意角、弧度制及任意角的三角函数1.D 根据三角函数的定义,tanα=yx=35-45=-34,故选D.2.C ∵sinα<0,∴α的终边落在第三、第四象限或y轴的负半轴.又tanα>0,∴α在第一象限或第三象限.综上可知,α在第三象限.3.A 将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,D不正确.又拨慢10分钟,所以转过的角度应为圆周的212=16,即为16×2π=π3.4\n4.C (方法一)由tanα>0可得kπ<α<kπ+π2(k∈Z),故2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z),故四个选项中只有sin2α>0.(方法二)由tanα>0知角α是第一或第三象限角,当α是第一象限角时,sin2α=2sinαcosα>0;当α是第三象限角时,sinα<0,cosα<0,仍有sin2α=2sinαcosα>0,故选C.5.A 连接圆心与弦的中点,则由弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形,弦长的一半为1,其所对的圆心角为0.5,故半径为1sin0.5,这个圆心角所对的弧长为1sin0.5.故选A.6.D 依题意得cosα=xx2+5=24x<0,由此解得x=-3,故选D.7.A 由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有3a-9≤0,a+2>0,解得-2<a≤3.8.D 由题意知点P在第四象限,根据三角函数的定义得cosα=sin2π3=32,故α=2kπ-π6(k∈Z),所以角α的最小正值为11π6.9.2kπ-π3,2kπ+π3(k∈Z) ∵2cosα-1≥0,∴cosα≥12.由三角函数线画出α满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).故α∈2kπ-π3,2kπ+π3(k∈Z).10.0 设角α终边上任一点为P(k,-3k),则r=k2+(-3k)2=10|k|.当k>0时,r=10k,∴sinα=-3k10k=-310,1cosα=10kk=10,∴10sinα+3cosα=-310+310=0;当k<0时,r=-10k,∴sinα=-3k-10k=310,1cosα=-10kk=-10,∴10sinα+3cosα=310-310=0.综上,10sinα+3cosα=0.11.四 由α是第三象限角,可知2kπ+π<α<2kπ+3π2(k∈Z).故kπ+π2<α2<kπ+3π4(k∈Z),即α2是第二或第四象限角.又sinα2=-sinα2,故sinα2<0.因此α2只能是第四象限角.12.10,2 设扇形的半径为r,圆心角为θ,则rθ+2r=40.∴扇形的面积S=12θr2=12(40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100≤100.∴当且仅当r=10时,S有最大值100,此时10θ+20=40,θ=2.∴当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.13.B 由α=2kπ-π5(k∈Z)及终边相同的角的概念知,角α的终边在第四象限.又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角.所以sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0.所以y=-1+1-1=-1.4\n14.C 若0<α<π2,则sinα<tanα=sinαcosα,故A正确;若α是第二象限角,则α2∈π4+kπ,kπ+π2(k∈Z),则α2为第一象限角或第三象限角,故B正确;若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0),则sinα=4k9k2+16k2=4k5|k|,不一定等于45,故C不正确;若扇形的周长为6,半径为2,则弧长=6-2×2=2,其圆心角的大小为1弧度,故D正确.15.π3+2kπ,π+2kπ(k∈Z) 由题意知sinx≥0,12-cosx≥0,即sinx≥0,cosx≤12.由满足上述不等式组的三角函数线,得x的取值范围为xπ3+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z .16.34 由题意知角θ的终边与240°角的终边相同,∵P(x,y)在角θ的终边上,∴tanθ=tan240°=3=yx,于是xyx2+y2=yx1+yx2=31+3=34.17.D 由点A的坐标为(43,1),可知OA绕坐标原点O逆时针旋转π3至OB,则OB边仍在第一象限.故可设直线OA的倾斜角为α,B(m,n)(m>0,n>0),则直线OB的倾斜角为π3+α.因为A(43,1),所以tanα=143,tanπ3+α=nm,nm=3+1431-3·143=1333,即m2=27169n2,因为m2+n2=(43)2+12=49,所以n2+27169n2=49,所以n=132或n=-132(舍去),所以点B的纵坐标为132.18.22或-22 由已知得r=a2+a2=2|a|,则sinθ=ar=a2|a|=22,a>0,-22,a<0.所以sinθ的值是22或-22.4
