第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数A级·基础过关|固根基|1.(2019届潍坊一模)下列结论中错误的是( )A．若0<α<，则sinα<tanαB．若α是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C．若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝D．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度解析：选C 若0<α<，则sinα<＝tanα，故A正确；若α是第二象限角，即α∈，k∈Z，则∈，k∈Z为第一象限或第三象限角，故B正确；若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝＝，不一定等于，故C不正确；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，其中心角的大小为＝1弧度．故选C．2．(2019届云南模拟)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B 因为点P在第三象限，所以所以角α的终边在第二象限．故选B．3．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为( )A．2kπ＋β(k∈Z)B．2kπ－β(k∈Z)C．kπ＋β(k∈Z)D．kπ－β(k∈Z)解析：选B 因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以α＋β＝2kπ(k∈Z)，所以α＝2kπ－β(k∈Z)．故选B．4．(2019届陕西宝鸡质检)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是( )A．(－2，3]B．(－2，3)\nC．[－2，3)D．[－2，3]解析：选A 由cosα≤0，sinα>0可知，角α的终边在第二象限内或y轴的非负半轴上，∴解得－2<a≤3，即a的取值范围为{a|－2<a≤3}．故选A．5．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )A．B．C．D．解析：选C 因为点P在第四象限，根据三角函数的定义，可知tanθ＝＝－，又由θ∈[0，2π)可得θ＝.故选C．6．已知θ是第四象限角，则sin(sinθ)( )A．大于0B．大于等于0C．小于0D．小于等于0解析：选C ∵θ是第四象限角，∴sinθ∈(－1，0)．令sinθ＝α，当－1<α<0时，sinα<0.故sin(sinθ)<0.故选C．7．(2019届成都模拟)已知角α＝2kπ－(k∈Z)，则＋的值是( )A．0B．2C．－2D．不存在解析：选A ∵已知角α＝2kπ－(k∈Z)，则角α是第二象限角，则sinα>0，tanα<0，∴＝1，＝－1，∴＋＝1－1＝0.故选A．8．点P坐标为(2，0)，射线OP顺时针旋转2010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则Q的坐标为( )A．(－，)B．(－，1)C．(－1，)D．(1，－)解析：选B 因为－2010°＝－360°×6＋150°，150°角的终边与圆的交点坐标为(－，1)．故选B．9．－2017°角是第________象限角，与－2017°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．\n解析：因为－2017°＝－6×360°＋143°，所以－2017°角的终边与143°角的终边相同，所以－2017°角是第二象限角，与－2017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°，故与－2017°角终边相同的最大负角是－217°.答案：二 143° －217°10．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝，则sinβ＝________.解析：解法一：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(2，1)，其关于y轴的对称点P′1(－2，1)在角β的终边上，此时sinβ＝；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－2，1)，其关于y轴的对称点P′2(2，1)在角β的终边上，此时sinβ＝.综合可得sinβ＝.解法二：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sinβ＝sinα＝.解法三：由已知可得，sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝(k∈Z)．答案：11．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长|AB|.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意，可得解得或所以α＝＝或α＝＝6.(2)因为2r＋l＝8，所以S扇形＝lr＝l·2r≤＝×＝4，当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长|AB|＝2sin1×2＝4sin1.12．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．(1)求sinθ＋cosθ的值；\n(2)试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，当a>0时，r＝5a，sinθ＋cosθ＝－＝－.当a<0时，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－＋＝.(2)当a>0时，sinθ＝∈，∴cos(sinθ)>0，cosθ＝－∈，sin(cosθ)<0，则cos(sinθ)·sin(cosθ)<0；当a<0时，sinθ＝－∈，∴cos(sinθ)>0，cosθ＝∈，∴sin(cosθ)>0，则cos(sinθ)sin(cosθ)>0.综上，当a>0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为负；当a<0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为正．B级·素养提升|练能力|13.(2019届南京模拟)在△ABC中，若sinAcosBtanC<0，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定解析：选B ∵△ABC中每个角都在(0，π)内，∴sinA>0.∵sinAcosBtanC<0，∴cosBtanC<0.若B，C同为锐角，则cosB·tanC>0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B．14．已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为( )A．B．C．D．\n解析：选D 根据三角函数的定义得cosα＝sin＝，sinα＝cos＝－，∴点P在第四象限，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.故选D．15．已知角α的终边落在直线y＝－3x(x<0)上，则－＝________．解析：因为角α的终边落在直线y＝－3x(x<0)上，所以角α是第二象限角，因此sinα>0，cosα<0.故－＝－＝1＋1＝2.答案：216．(2019届厦门模拟)如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点Acosα，，则cosα－sinα＝________．解析：由题意，得cos2α＋＝1，∴cos2α＝.又cosα<0，∴cosα＝－，∴cosα－sinα＝－－＝－.答案：－17．(2019届武汉模拟)已知角α的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m，m)，则sin2α＝________．解析：由题意得|OA|2＝m2＋3m2＝1，故m2＝.由任意角三角函数定义知cosα＝m，sinα＝m，由此sin2α＝2sinαcosα＝2m2＝.答案：
