1数据链接真题试做2数据聚焦考点梳理a3数据剖析题型突破第12讲一次函数的实际应用目录\n命题点一次函数的实际应用数据链接真题试做\n一次函数的实际应用命题点返回子目录数据链接真题试做11.(2019·河北,24)长为300m的春游队伍,以v(m/s)的速度向东行进.如图①和图②,当队伍排尾行进到位置O时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2v(m/s),当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进的时间为t(s),排头与O的距离为S头(m).\n返回子目录(1)当v=2时,解答:①求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围);②当甲赶到排头位置时,求S头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为S甲(m),求S甲与t的函数关系式(不写t的取值范围);(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程.图①图②\n返回子目录解:(1)①排头走的路程为2t,则S头=2t+300.(2)设甲从排尾赶到排头用时为t1,则2vt1=vt1+300,∴t1=.同样甲返回到排尾用时为t2=.∴T=t1+t2=.队伍行进的路程是Tv=·v=400(m).②甲从排尾赶到排头时,有4t=2t+300,得t=150.此时,S头=2×150+300=600.甲从排头返回的时间为t-150,则S甲=600-4(t-150)=-4t+1200.\n返回子目录2.(2015·河北,23)水平放置的容器内原有210毫米高的水,如图,将若干个球逐一放入该容器中,每放入一个大球水面就上升4毫米,每放入一个小球水面就上升3毫米,假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.设水面高为y毫米.(1)只放入大球,且个数为x大,求y与x大的函数关系式(不必写出x大的范围);(2)仅放入6个大球后,开始放入小球,且小球个数为x小.①求y与x小的函数关系式(不必写出x小的范围);②限定水面高不超过260毫米,最多能放入几个小球?\n返回子目录解:(1)y=210+4x大.(2)①放入6个大球后水的高度是210+4×6=234(毫米),则y=234+3x小.②根据题意,得234+3x小≤260,解得x小≤.又∵x小是正整数,∴x小的最大整数是8.答:限定水面高不超过260毫米,最多能放入8个小球.\n返回子目录3.(2016·河北,24)某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系,如下表:第1个第2个第3个第4个…第n个调整前单价x(元)x1x2=6x3=72x4…xn调整后单价y(元)y1y2=4y3=59y4…yn已知这n个玩具调整后的单价都大于2元.(1)求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围;(2)某个玩具调整前单价是108元,顾客购买这个玩具省了多少钱?(3)这n个玩具调整前、后的平均单价分别为,,猜想与的关系式,并写出推导过程.\n返回子目录解:(1)设y=kx+b(k≠0),依题意,得x=6时,y=4;x=72时,y=59.∴解得∴y=x-1.依题意,得x-1>2.解得x>.即x的取值范围为x>.(2)将x=108代入y=x-1,得y=89.∵108-89=19(元),∴顾客购买这个玩具省了19元.(3)猜想与的关系式为=-1.推导过程:∵由(1),得y1=x1-1,y2=x2-1,…,∴yn=xn-1.∴=(y1+y2+…+yn)=[（-1）+（-1）+…+（-1）]=[-n]=-1=-1\n考点1一次函数的实际应用考点2一次函数与几何图形结合的相关计算数据聚焦考点梳理\n一次函数的实际应用考点1返回子目录数据聚集考点梳理21.用一次函数解决实际问题的一般步骤(1)设出实际问题中的变量；(2)建立一次函数解析式；(3)利用待定系数法求出一次函数解析式；(4)确定自变量的取值范围；(5)利用一次函数的性质求相应的值,对所求的值进行检验,看其是否符合实际意义；(6)作答.\n返回子目录2.一次函数实际应用的常考类型(1)根据实际问题中给出的数据列出相应的函数解析式,解决实际问题；(2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较；(3)结合函数图象解决实际问题.3.确定解析式常用的等量关系(1)路程问题:路程=速度×时间.(2)利润问题:销售额=单价×销售量,总利润=单件利润×销售量.\n返回子目录【规律总结】一次函数的实际应用一般涉及以下三个问题:(1)求函数解析式.①文字型及表格型的应用题:一般都是根据题干中数量的等量关系来列函数解析式.②图象型的应用题:一般都是找图象上的两个点的坐标,根据待定系数法求函数解析式.(2)求最优方案.对于最优方案问题,通常涉及两个相关量,解题方法是根据题中所要满足的关系式,通过列不等式,求解出某一个变量的取值范围,再根据另一个变量所要满足的条件,即可确定出有多少种方案.\n返回子目录(3)求最值问题.①可将所有求得的方案的值计算出来,再进行比较;②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解,由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值;若为分段函数,则应分类讨论,先计算出每个分段函数的最值,再进行比较.\n一次函数与几何图形结合的相关计算考点2返回子目录一次函数与几何图形相结合的主要题型是有关几何图形的面积计算.解题时通常会用到二元一次方程组来求一次函数解析式或交点坐标.\n数据剖析题型突破考向1一次函数的实际应用考向2一次函数与几何图形结合的相关问题\n1.(2021·河北联考)甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380m的公路,在施工过程中,乙队曾因技术改进而停工一天,之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务.下表是根据每天工程进度绘制而成的.下列说法错误的是()一次函数的实际应用（5年考2次）考向1返回子目录数据剖析题型突破3施工时间/天123456789累计完成施工量/m3570105140160215270325380A.甲队每天修路20mB.乙队第一天修路15mC.乙队技术改进后每天修路35mD.前七天甲、乙两队修路长度相等D\n返回子目录2.(2021·唐山模拟)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象,下列结论错误的是()A.乙前4秒行驶的路程为48米B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C.两车到第3秒时行驶的路程相同D.在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度C\n返回子目录3.(2021·保定一模)某旅游风景区门票价格为a元/人,对团体票规定:10人以下(包括10人)不打折,10人以上超过10人的部分打b折,设游客为x人,门票费用为y元,y与x之间的函数关系如图所示.(1)填空:a=,b=.(2)请求出:当x>10时,y与x之间的函数关系式.(3)导游小王带一个旅游团到该景区旅游,付门票费用2720元(导游不需购买门票),求该旅游团有多少人?\n返回子目录解:(1)由图象可知,a=800÷10=80,b=×10=8.(2)当x>10时,设y与x之间的函数关系式是y=kx+m,则解得故当x>10时,y与x之间的函数关系式是y=64x+160.(3)∵2720>800,∴将y=2720代入y=64x+160,得2720=64x+160,解得x=40,故该旅游团有40人.\n解:设直线AB的解析式为y1=k1x+b,将(2,20),(4,36)代入,可得解得故直线AB的解析式为y1=8x+4.当x=5时,y=8×5+4=44.设直线OA的解析式为y2=k2x,将(2,20)代入,可得2k2=20,解得k2=10,故直线OA的解析式为y2=10x,当x=1时,y=10,∴分五次每次购买1千克这种苹果共付款10×5=50(元),50-44=6(元),则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省6元.返回子目录4.如图,购买一种苹果,付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多少元?\n返回子目录5.一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.(1)求y关于x的函数解析式(不需要写定义域);(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,汽车会开始提示加油.在此行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?\n返回子目录解:(1)设一次函数的关系式是y=kx+b,由图象知,点(0,60)与点(150,45)在此函数图象上,将其代入,得解得故y关于x的函数解析式为y=-x+60.(2)当y=8时,y=-x+60=8,解得x=520.30-(520-500)=10(千米).∴汽车开始提示加油时,离加油站的路程是10千米.b=10，150k+b=45，\n返回子目录6.(2021·石家庄模拟)为了美化环境,建设宜居城市,我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查,甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示,乙种花卉的种植费用为每平方米100元.(1)直接写出当0≤x≤300和x>300时,y与x的函数关系式;(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2,若甲种花卉的种植面积不少于200m2,且不超过乙种花卉种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少?最少总费用为多少元?\n返回子目录解:(1)当0≤x≤300时,设y=k1x,把点(300,39000)代入y=k1x,得39000=300k1,解得k1=130.∴y=130x.当x>300时,设y=k2x+b,把点(300,39000),(500,55000)代入y=k2x+b,得解得∴y=80x+15000.所以y=\n返回子目录(2)设甲种花卉种植为am2,则乙种花卉种植(1200-a)m2,根据题意,得解得200≤a≤800.当200≤a<300时,W1=130a+100(1200-a)=30a+120000.当a=200时,W最小值=126000(元).当300≤a≤800时,W2=80a+15000+100(1200-a)=135000-20a.当a=800时,W最小值=119000(元).∵119000<126000,∴当a=800时,总费用最低,最低为119000元.此时乙种花卉种植面积为1200-800=400(m2).所以应分配甲种花卉种植面积为800m2,乙种花卉种植面积为400m2,才能使种植总费用最少,最少总费用为119000元.\n返回子目录在解决分段函数问题时,要注意各段的“分界点”:(1)因为不同的段内,自变量的取值范围不同,所以对于不同的自变量的值,要“对号入座”,寻找与之相对应的函数解析式;(2)分界点起着承上启下的作用,它既是上一段的末端点,又是下一段的始端点,因此在这两段内,都要注意利用分界点的已知条件.\n一次函数与几何图形结合的相关问题（5年考2次）考向2返回子目录1.(2021·邯郸模拟)如图,已知一次函数y=2x+a,y=-x+b的图象都经过A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积为()A.4B.5C.6D.7C\n返回子目录2.(2021·河北模拟)如图①,在矩形MNPQ中,动点R从点N出发,沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x,△MNR的面积为y,如果y关于x的函数图象如图②所示,那么下列说法不正确的是()A.当x=2时,y=5B.矩形MNPQ的周长是18C.当x=6时,y=10D.当y=8时,x=10D\n返回子目录3.(2021·河北预测)在如图所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1,0),B(2,0)是x轴上的两点,则PA+PB的最小值为.\n返回子目录4.如图,直线l1的解析表达式为y=-3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,B,直线l1,l2交于点C.(1)求点D的坐标;(2)求直线l2的解析式;(3)求△ADC的面积;(4)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ADC的面积相等,请直接写出点P的坐标.\n返回子目录解:(1)由y=-3x+3,令y=0,得-3x+3=0,∴x=1,∴D(1,0).(2)设直线l2的解析式为y=kx+b,由图象知A(4,0),B,代入解析式y=kx+b,得解得∴直线l2的解析表达式为y=x-6.(3)由解得∴C(2,-3).∵AD=3,∴S△ADC=×3×|-3|=.(4)P(6,3).\n返回子目录5.(2021·河北预测)如图,已知直线y=kx+b与y=mx+n交于点P(1,4),它们分别与x轴交于A,B,PA=PB=2.(1)求两个函数的解析式;(2)若BP交y轴于点C,求四边形PCOA的面积.\n返回子目录解:(1)如图所示,过点P作PH⊥AO,则PH=4,OH=1,BH==2,∴B(-1,0).∵PA=PB,PH⊥AO,∴AH=BH=2,OA=3,∴A(3,0),将B(-1,0),P(1,4)代入y=mx+n,得解得故直线PB的解析式为y=2x+2;将A(3,0),P(1,4)代入y=kx+b,得解得故直线AP的解析式为y=-2x+6.(2)S四边形PCOA=S△ABP-S△OBC=7.\n返回子目录6.(2021·河北模拟)如图,正方形ABCD的边长为2,BC边在x轴上,BC的中点与原点O重合,过定点M(-2,0)与动点P(0,t)的直线MP记做l.(1)若l的解析式为y=2x+4,判断此时点A是否在直线l上,并说明理由;(2)当直线l与AD边有公共点时,求t的取值范围.\n解:(1)此时点A在直线l上;∵BC=AB=2,点O为BC中点,∴点B(-1,0),A(-1,2),把点A的横坐标x=-1代入解析式y=2x+4,得y=2×(-1)+4=2,等于点A的纵坐标2,∴此时点A在直线l上.返回子目录(2)由题意可得,点D(1,2),及点M(-2,0),当直线l经过点D时,设l的解析式为y=kx+t(k≠0),∴解得∴当直线l与AD边有公共点时,t的取值范围是≤t≤4.解题时要注意自变量的取值应满足实际意义.
