1数据链接真题试做2数据聚焦考点梳理a3数据剖析题型突破第13讲反比例函数及其应用目录\n数据链接真题试做命题点1反比例函数的图象命题点2反比例函数的性质命题点3反比例函数、一次函数与几何图形结合\n反比例函数的图像命题点1返回子目录数据链接真题试做11.(2019·河北,12)如图,函数y=的图象所在坐标系的原点是()A.点MB.点NC.点PD.点QA\n返回子目录2.(2015·河北,10)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系,当x=2时,y=20,则y与x的函数图象大致是()C\n返回子目录3.(2014·河北,14)定义新运算:a⊕b=例如:4⊕5=,4⊕(-5)=.则函数y=2⊕x(x≠0)的图象大致是()D\n返回子目录4.(2017·河北,15)如图,若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k,则反比例函数y=(x>0)的图象是()D\n反比例函数的性质命题点2返回子目录5.(2011·河北,12)根据如图1所示的程序,得到了y与x的函数图象,如图2.若点M是y轴正半轴上任意一点,过点M作PQ∥x轴交图象于点P,Q,连接OP,OQ,则以下结论:①x<0时,y=;②△OPQ的面积为定值;③x>0时,y随x的增大而增大;④MQ=2PM;⑤∠POQ可以等于90°.其中正确结论是()A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤B\n返回子目录6.(2021·河北,19)用绘图软件绘制双曲线m:y=与动直线l:y=a,且交于一点,图1为a=8时的视窗情形.(1)当a=15时,l与m的交点坐标为;(2)视窗的大小不变,但其可视范围可以变化,且变化前后原点O始终在视窗中心.（4,15）\n返回子目录例如,为在视窗中看到(1)中的交点,可将图1中坐标系的单位长度变为原来的,其可视范围就由-15≤x≤15及-10≤y≤10变成了-30≤x≤30及-20≤y≤20(如图2).当a=-1.2和a=-1.5时,l与m的交点分别是点A和B,为能看到m在A和B之间的一整段图象,需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的,则整数k=.4\n7.(2020·河北,19)如图是8个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~8的整数).函数y=(x<0)的图象为曲线L.(1)若L过点T1,则k=;(2)若L过点T4,则它必定还过另一点Tm,则m=;(3)若曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,则k的整数值有个.返回子目录-1657\n8.(2012·河北,22)如图,四边形ABCD是平行四边形,点A(1,0),B(3,1),C(3,3).反比例函数y=(x>0)的图象经过点D,点P是一次函数y=kx+3-3k(k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点.(1)求反比例函数的解析式;(2)通过计算,说明一次函数y=kx+3-3k(k≠0)的图象一定过点C;(3)对于一次函数y=kx+3-3k(k≠0),当y随x的增大而增大时,确定点P横坐标的取值范围(不必写出过程).反比例函数、一次函数与几何图形结合命题点3返回子目录\n返回子目录解:(1)∵点B,C的横坐标相等,∴BC⊥x轴.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∴AD=BC=2,AD⊥x轴,故点D的坐标为(1,2).∵y=(x>0)的图象经过点D,∴2=,∴m=2.∴反比例函数的解析式为y=.(2)∵当x=3时,y=kx+3-3k=3,∴一次函数y=kx+3-3k(k≠0)的图象一定过点C(3,3).(3)<xP<3.\n返回子目录9.(2010·河北,22)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.(1)求直线DE的解析式和点M的坐标;(2)若反比例函数y=(x>0)的图象经过点M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上;(3)若反比例函数y=(x>0)的图象与△MNB有公共点,请直接写出m的取值范围.\n返回子目录解:(1)设直线DE的解析式为y=kx+b(k≠0),∵点D,E的坐标分别为(0,3),(6,0),∴解得∴y=-x+3.∵点M在边AB上,B(4,2),而四边形OABC是矩形,∴点M的纵坐标为2.又∵点M在直线y=-x+3上,∴2=-x+3,∴x=2,∴点M的坐标为(2,2).\n返回子目录(2)∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点M(2,2),∴m=4.∴y=.又∵点N在边BC上,B(4,2),∴点N的横坐标为4.∵点N在直线y=-x+3上,∴y=1,∴点N的坐标为(4,1).∵当x=4时,y==1,∴点N在反比例函数y=的图象上.(3)4≤m≤8.\n数据聚焦考点梳理考点1反比例函数的概念考点2反比例函数的图象及性质考点3反比例函数解析式的确定\n反比例函数的概念考点1返回子目录数据聚集考点梳理21.定义:一般地,形如①(k是常数,k≠0)的函数,叫反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是x≠0.2.三种表达式(k为常数,k≠0):y=;y=kx-1;xy=k.y=\n反比例函数的图象及性质考点2返回子目录1.反比例函数图象与性质解析式y=(k≠0,k为常数)kk>0k<0图象增减性在每个象限内,y随x的增大而②在每个象限内,y随x的增大而③对称性关于直线y=x,y=-x轴对称,关于原点O成中心对称减小增大\n返回子目录【规律总结】确定点在反比例函数图象上的方法:(1)把点的横坐标代入解析式,求出y的值,若所求值等于纵坐标,则点在函数图象上;若所求值不等于纵坐标,则点不在函数图象上.(2)把点的横、纵坐标相乘,若乘积等于k,则点在函数图象上,若乘积不等于k,则点不在函数图象上.2.反比例函数中k的几何意义如图,设P(x,y)是反比例函数y=(k≠0,k为常数)的图象上任意一点,过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,则S矩形PNOM=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|.\n返回子目录3.反比例函数图象中相关图形的面积S△AOP=S矩形OAPB=|k|=2|k|(P,P1关于原点对称)S△AOB=S△AOE+S△OEF+S△BOF\n返回子目录4.反比例函数图象与一次函数图象、几何图形结合(1)反比例函数与一次函数综合应用的四个方面:A.探求同一坐标系下两函数的图象:先假设图象中的反比例函数图象正确,再结合其特征得到系数的情况,并将系数代入一次函数解析式进行验证,无矛盾,则正确;有矛盾,则错误.B.探求两函数的解析式,常利用两函数图象的交点坐标.C.探求两函数图象中点的坐标,常利用解方程(组)来解决,这也是求两函数图象交点坐标的常用方法.D.两个函数值比较大小的方法是以两图象的交点为界限,观察交点左、右两边区域的两个函数图象的上、下位置关系,但要注意反比例函数中x≠0.\n返回子目录(2)在平面直角坐标系中求三角形的面积时,通常以坐标轴上的边为底,相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；若没有坐标轴上的边,则过三角形的一个顶点作坐标轴的平行线,将三角形分成两个小三角形来计算.\n反比例函数解析式的确定考点3返回子目录1.用待定系数法确定反比例函数解析式的步骤(1)设所求的反比例函数的解析式为y=(k≠0);(2)根据已知条件列出含k的方程;(3)求出待定系数k的值;(4)写出反比例函数的解析式.\n返回子目录2.求反比例函数解析式的三种途径(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出;(2)在已知两个变量x,y具有反比例关系y=(k≠0)的前提下,根据一对x,y的值,列出一个关于k的方程,求得k的值,确定函数的解析式;(3)结合k的几何意义,先得到图形的面积,再列出函数解析式.\n数据剖析题型突破考向1反比例函数的图象及性质考向2反比例函数解析式的确定考向3反比例函数与一次函数的综合应用\n反比例函数的图象及性质（5年考4次）考向1返回子目录数据剖析题型突破31.(2021·河北模拟)已知反比例函数y=的图象如图所示,下列说法正确的是()A.k>0B.y随x的增大而减小C.若矩形OABC的面积为2,则k=2D.若图象上有两点M(-2,y1),N(-1,y2),则y1<y2D\n返回子目录2.(2021·金华中考)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=-的图象上.若x1<0<x2,则()A.y1<0<y2B.y2<0<y1C.y1<y2<0D.y2<y1<0B3.(2021·邢台二模)反比例函数y=(k≠0)过点A(a,y1),B(a+1,y2),若y2>y1,则a的取值范围为()A.a>-1B.-1<a<0C.a<1D.0<a<1B\n返回子目录4.(2021·承德模拟)反比例函数y=(m≠0)的图象如图所示,以下结论:①常数m<-1;②在每个象限内,y随x的增大而增大;③若点A(-1,h),B(2,k)在图象上,则h<k;④若点P(x,y)在图象上,则P'(-x,-y)也在图象上.其中正确的是()CA.①②B.②③C.③④D.①④\n返回子目录5.(2021·石家庄模拟)如图,点A在双曲线y=上,点B在双曲线y=上,且AB∥x轴,点C,D在x轴上,若四边ABCD为矩形,则它的面积为()A.4B.6C.8D.12C\n返回子目录6.(2021·河北模拟)如图,平行于x轴的直线与函数y=(k1>0,x>0),y=(k2>0,x>0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,点C为x轴上的一个动点.若△ABC的面积为4,则k1-k2的值为()A.8B.-8C.4D.-4A\n返回子目录反比例函数的图象和性质是由k的值决定的.研究反比例函数的增减性以及比较两个函数值的大小时,要分象限进行比较.例如,不能直接说整个函数y随x的增大而增大(减小),而应该说在反比例函数图象所在的每一象限内,y随x的增大而增大(减小).\n反比例函数解析式的确定（5年考1次）考向2返回子目录1.(2021·秦皇岛模拟)某闭合电路中,电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()A.I=B.I=C.I=D.I=-C\n返回子目录2.(2021·石家庄新华区模拟)如图,矩形ABCD的中心位于直角坐标系的坐标原点O,其面积为8,反比例函数y=的图象经过点D,则m的值为()A.2B.4C.6D.8A\n返回子目录3.(2021·承德模拟)如图,已知双曲线y=经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C,若点A的坐标为(-6,4),则△AOC的面积为()A.12B.9C.6D.4B\n返回子目录4.(2021·河北模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线y=k1x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B,连接BO.若S△BOC=1,tan∠BOC=,则k2的值是()DA.-3B.1C.2D.3\n返回子目录5.(2021·原创题)如图,在平面直角坐标系中有两点A(6,2),B(6,0),以原点为位似中心,相似比为1∶3,把线段AB缩小,则过点A对应点的反比例函数的解析式为()A.y=B.y=C.y=-D.y=B\n返回子目录6.(2021·河北预测)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上,点A在第一象限,反比例函数y=(x>0)的图象经过OA的中点C,交AB于点D,连接CD.若△ACD的面积是2,则k的值是.要确定反比例函数的解析式,一定要掌握反比例函数中k所代表的几何意义.\n反比例函数与一次函数的综合应用（5年考0次）考向3返回子目录1.(2021·河北质量检测)直线y=ax+b与双曲线y=的图象如图所示,则a-b+c的结果()A.大于0B.小于0C.等于0D.无法确定A\n返回子目录2.(2021·河北联考)函数y=kx+b(k≠0)与y=(m≠0)的图象相交于点A(-2,3),B(1,-6)两点,则不等式kx+b>的解集为()A.x>-2B.-2<x<0或x>1C.x>1D.x<-2或0<x<1D\n返回子目录3.(2021·河北模拟)如图,一次函数y=x+k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B,与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点C,CD⊥x轴,CE⊥y轴,垂足分别为点D,E.当矩形ODCE与△OAB的面积相等时,k的值为.2\n返回子目录4.(2021·石家庄模拟)如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(a≠0)的图象在第二象限交于点A(m,2),与x轴交于点C(-1,0),过点A作AB⊥x轴于点B,△ABC的面积是3.(1)求一次函数解析式和反比例函数解析式;(2)若直线AC与y轴交于点D,求△BCD的面积.\n返回子目录解:(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(a≠0)的图象在第二象限交于点A(m,2),与x轴交于点C(-1,0),∴点A.∵△ABC的面积是3,∴3=AB·BC.即3=×2×,解得a=-8,∴反比例函数解析式为y=-.∴A(-4,2).把A(-4,2),C(-1,0)的坐标代入y=kx+b得解得∴一次函数解析式为y=-x-.\n返回子目录(2)∵直线AC与y轴交于点D,∴D,∴OD=.∴S△BCD=BC·OD=×3×=1.\n返回子目录5.(2021·河北模拟)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2),直线y=-x+与边AB,BC分别相交于点M,N,函数y=(x>0)的图象过点M.(1)试说明点N也在函数y=(x>0)的图象上;(2)将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M'N',当直线M'N'与函数y=(x>0)的图象仅有一个交点时,求直线M'N'的解析式.\n返回子目录解:(1)∵矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2),∴点M的横坐标为4,点N的纵坐标为2.把x=4代入y=-x+,得y=,∴点M的坐标为.把y=2代入y=-x+,得x=1,∴点N的坐标为(1,2).∵函数y=(x>0)的图象过点M,∴k=4×=2,∴y=(x>0).把N(1,2)代入y=,得2=2.∴点N也在函数y=(x>0)的图象上.\n返回子目录(2)设直线M'N'的解析式为y=-x+b.由得,x2-2bx+4=0.∵直线y=-x+b与函数y=(x>0)的图象仅有一个交点,∴(-2b)2-4×4=0,解得b1=2,b2=-2(舍去),∴直线M'N'的解析式为y=-x+2.\n返回子目录6.(2021·唐山模拟)如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象交于A(-1,a),B两点,与x轴交于点C.(1)求此反比例函数的表达式;(2)若点P在x轴上,且S△ACP=S△BOC,求点P的坐标.\n返回子目录解:(1)把点A(-1,a)代入y=x+4,得a=3,∴A(-1,3).把A(-1,3)代入反比例函数y=,∴k=-3,∴反比例函数的表达式为y=-.(2)联立两个函数的表达式得解得或∴点B的坐标为B(-3,1).当y=x+4=0时,得x=-4,∴点C(-4,0).设点P的坐标为(x,0),∵S△ACP=S△BOC,∴×3×|x-(-4)|=××4×1,解得x1=-6,x2=-2,∴点P(-6,0)或(-2,0).\n返回子目录对于一次函数与反比例函数的综合题,常涉及以下几个方面:(1)求交点坐标:联立方程组求解即可.(2)确定函数解析式:将交点坐标代入y=(k≠0)可求k.由两交点A,B的坐标,利用待定系数法可求y=ax+b(a≠0).(3)利用函数的图象确定不等式ax+b>或ax+b<的解集时,可以根据数形结合法进行分析判断,其中哪个函数的图象在上方,其对应的函数值较大;哪个函数的图象在下方,其对应的函数值较小.
