考点57直线和圆的方程的应用要点阐述直线与圆的方程在生产、生活实践中有着广泛的应用，其具体解题思路是：从实际问题出发，构建数学模型，转化为数学问题中点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及性质探究的问题求解．解题步骤是：（1）建模；（2）建系；（3）引进直线与圆的方程；（4）利用直线与圆的位置关系，借助几何性质求解．典型例题【例】如果实数x，y满足等式，那么的最大值是（ ）A．B．C．D．【答案】D【秒杀技】圆的半径，原点到圆心的距离为2，构造直角三角形，求出相切时的倾斜角60°，可得斜率的最大值．小试牛刀1．一辆卡车宽1.6m，要经过一个半径为3.6m的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷蓬顶距地面的高度不得超过（ ）A．1.4mB．3.5mC．3.6mD．2.0m【答案】C6【解析】设圆的方程为，将代入方程的．【规律方法】直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识的用坐标法解决几何问题．用坐标法解决平面几何问题的思维过程：2．台风中心从地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市在地正东40km处，则城市处于危险区内的时间为（ ）A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h【答案】B【解题技巧】用坐标方法解决几何问题的步骤是：（1）建系，用坐标和方程表示问题中几何元素，将平面问题转化为代数问题；（2）通过代数运算解决代数问题；（3）将代数结构翻译成几何结论．3．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是( )A．B．C．D．π【答案】D6【解析】数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的．4．已知M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( )A．(0，－1)B．(0,1]C．(0,2－]D．(0,2]【答案】C【解析】因为M∩N＝N，所以两个圆内含或内切，则2－r≥，得r∈(0,2－]，故选C．5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为________．【答案】13米6．一束光线自A（–3，3）发出，射到轴反射到上．（1）求反射线通过圆心时，光线的方程；（2）求在轴上，反射点的范围．【解析】：．（1）关于轴的对称点（2，–2），过、的直线方程：为光线的方程．6（2）关于x轴的对称点（–3，–3）．设过的直线为，当该直线与相切时，有或．过，的两条切线为，令，得．反射点在轴上的活动范围是．考题速递1．点P(4,－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)4＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1【答案】A2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1,则a＝( )A．－B．－C．D．2【答案】A【解析】由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d＝＝1,解之得a＝－．3．一条光线从点(－2,－3)射出,经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A．－或－B．－或－C．－或－D．－或－【答案】D6【解析】圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(–3,2),半径r＝1．(–2,–3)关于y轴的对称点为(2,–3)．如图所示,反射光线一定过点(2,–3)且斜率k存在,∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x–2),即kx–y–2k－3＝0．∵反射光线与已知圆相切,∴＝1,整理得12k2＋25k＋12＝0,解得k＝－或k＝－．4．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h．问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)6数学文化石拱桥石拱桥，用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，这种拱桥有悠久的历史，桥梁又多有附属小品建筑，如桥头常立牌坊，著名者如北京北海琼华岛前的石拱桥，两端就各有一座规模甚大而美丽的牌坊．华表、经幢和小石塔也常用于桥梁，如苏州宝带桥、泉州五里桥和洛阳桥等．世界上最著名的割圆拱桥首推中国赵州桥．6
