考点48圆的一般方程要点阐述圆的一般方程的定义（1）当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为．（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点．（3）当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．典型例题【例】已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程．5②当PP1、PP2的斜率有一个不存在时，有x=4或x=6，这时点P的坐标是（4，3）或（6，9），它们都满足方程①．又P1（4，9）、P2（6，3）两点坐标也满足方程①，∴所求圆的方程为（x–5）2+（y–6）2=10．解法三：设P（x，y）是圆上任意一点，则|PP1|2+|PP2|2=|P1P2|2．（x–4）2+（y–9）2+（x–6）2+（y–3）2=（4–6）2+（9–3）2．化简，得x2+y2–10x–12y+51=0．即（x–5）2+（y–6）2=10为所求圆的方程．【秒杀技】一般地，以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径的圆的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0，此结论被称为圆的直径式方程．此结论在解题时要注意灵活运用，可给解题带来许多方便．小试牛刀1．圆x2+y2+10x=0的圆心坐标和半径长分别是（ ）A．（–5，0），5B．（5，0），5C．（0，–5），5D．（0，–5），25【答案】A【解析】因为x2+y2+10x=（x+5）2+y2–25=0，所以圆的方程为（x+5）2+y2=25．由圆的标准方程可知圆心为（–5，0），半径长为5．2．方程x2+y2+2ax–2y+a2+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a<1C．a>1D．0<a<1【答案】b【解析】由d2+e2–4f>0，得（2a）2+（–2）2–4（a2+a）>0，即4–4a>0，解得a<1．故选B．【解题技巧】圆的一般方程必须满足D2+E2–4F>0的条件，确定圆的一般方程，需要确定D、E、F三个未知数．3．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0＜a＜1)，则原点O在( )A．圆内B．圆外C．圆上D．圆上或圆外【答案】B54．若圆x2+y2–2x–4y=0的圆心到直线x–y+a=0的距离为，则a的值为（）A．–2或2B．或C．2或0D．–2或0【答案】C【解析】把圆x2+y2–2x–4y=0化为标准方程为（x–1）2+（y–2）2=5，故圆心坐标为（1，2），由圆心到直线x–y+a=0的距离为，得=，所以a=2，或a=0．5．已知定点A（a，2）在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．【答案】6．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．【解析】解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F>0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|．解法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|．【规律总结】5（1）形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．（2）在书写本题结果时，易出现r＝(m－2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．考题速递1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为( )A．(－1,1)B．(1，－1)C．(－1,0)D．(0，－1)【答案】D【解析】r＝＝，当k＝0时，r最大．2．若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以（2，–4）为圆心，4为半径的圆，则F=_______．【答案】4【解析】方程（x–2）2+（y+4）2=16展开得x2+y2–4x+8y+4=0，∴F=4．3．已知圆的方程是x2+y2+2x–4y–10=0，那么过点（2，5）且经过圆心的直线的方程为_______．【答案】x–y+3=04．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．【解析】圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2．①又∵半径长r＝＝，∴D2＋E2＝20．②由①②可得或又∵圆心在第二象限，5∴－＜0即D＞0，－>0即E<0．则故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．数学文化石拱桥石拱桥的弧形是圆的一部分5</a<1【答案】b【解析】由d2+e2–4f>
