考点52圆的弦长问题要点阐述圆的弦长的计算，一般不用弦长公式或两点距离公式，以避开联立方程涉及到交点的有关繁琐运算，而常用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形直接求解．典型例题【例】圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解题技巧】求出圆的半径，圆上的点到直线的距离，确定圆心到直线的距离，列出方程求解．小试牛刀1．设、为直线与圆的两个交点，则的长为（ ）A．1B． C． D．2【答案】D【解析】直线过圆的圆心,则为圆的半径，所以=2．【解题技巧】圆的弦长的计算，一般不用弦长公式或两点距离公式，以避开联立方程涉及到交点的有关繁琐运算，而常用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形直接求解．2．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（ ）5A．3B．2C．D．1【答案】B【解析】圆x2＋y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，则圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离为d＝＝1．∴|AB|＝2＝2＝2．3．过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0【答案】A【解析】当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0，故选A．【秒杀技】利用斜率，只有A符合．4．已知圆：及直线：，当直线被圆截得的弦长为时，等于（ ）A． B． C． D．【答案】C5．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程_____________．【答案】（x－3）2＋（y－1）2＝9或（x＋3）2＋（y＋1）2＝9．【解析】设圆心坐标为（3m，m）．∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，5∴圆心到直线y＝x的距离为|m|．由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9或（x＋3）2＋（y＋1）2＝9．6．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．考题速递1．直线被圆所截得弦长等于，则的值为（ ）A．–1或3B．C．1或3D．【答案】C【解析】弦长为，半径，∴圆心（a,0）到（2,0）的距离为，，∴a=1或3．2．圆截直线所得的弦长为8，则的值是（ ）A．10B．10或–68C．5或–34D．–68【答案】B5【解析】圆心坐标为（1，–2），半径，圆心到直线的距离为，，c=10或–68．3．直线被圆截得的弦长为_____________．【答案】【解析】半弦长为，圆心到直线的距离以及圆的半径构成了一个直角三角形，因此，所以．4．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．（1）当α＝135°时，求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．5（2）如图，当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，∵kOP＝－2，∴kAB＝，∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0．数学文化滚铁环滚铁环通常情况下是直线与圆的相交关系滚铁环是一项盛行于上世纪四五十年代男孩们爱玩的游戏．铁环是个约一尺多周圆的铁圈．其厚约一厘米，另有一个一尺多长的铁钩．玩法：可选一平整的场地，玩者手握铁钩勾住铁环，从场地一头边跑边推．让铁环不倒并不断向前滚动，一直滚向场地的终点．滚铁环亦可二三人一起进行比赛，谁中途不倒又快速到终点为胜者．5
