考点42恒过定点的直线要点阐述含参的直线方程，大都可以改写成的形式，由直线的点斜式方程可知，直线必定过点，利用直线恒过定点可以妙解数学问题．典型例题【例】若直线l∶y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．【答案】30°＜α＜90°【易错易混】直线从CA运动到CB，是直线的斜率k＞，对应的倾斜角为(30°，90°)，不包括90°．小试牛刀1．若，直线y+2=k（x–1）恒过一个定点，则这个定点的坐标为（）A．（1，–2）B．（–1，2）C．（–2，1）D．（2，1）【答案】A4【解析】y+2=k（x–1）是直线的点斜式方程，它经过定点为（1，–2）．故选A．【规律方法】解含有参数的直线恒过定点的问题．方法1：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．方法2：分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为0的形式，然后含参数的项和不含参数的项分别为零，解此方程组得到的解即为已知直线恒过的定点．2．若，则直线必经过的一个定点是（ ）A．（1，1）B．（–1，1）C．（1，–1）D．（–1，–1）【答案】C【解析】由，得，故可化为，所以必经过的一个定点是（1，–1）．3．三条直线：，，构成三角形，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．，【答案】A【秒杀技】若a=1,或a=–1则有两条直线平行，构不成三角形，选出答案A．4．直线y＝mx＋2m＋1恒过一定点，则此点是________．【答案】(－2,1)【解析】把直线方程化为点斜式y－1＝m(x＋2)．显然当x＝－2时y＝1，即直线恒过定点(－2,1)．5．直线的系数，满足，则直线必过定点________．【答案】（6，–8）【解析】∵，∴，∴．∴，∴，解方程组得∴定点为（6，–8）．4考题速递1．直线，当变化时，所有直线都通过定点（ ）A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）【答案】C【解析】直线方程整理为k（x–3）–（y–1）=0，过定点（3，1）．2．不论怎么变化，直线恒过定点（ ）A．（1，2）B．（–1，–2）C．（2，1）D．（–2，–1）【答案】B3．两直线3ax－y－2＝0和（2a－1）x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线3ax－y－2＝0过定点A（0，－2），直线（2a－1）x＋5ay－1＝0，过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝．4．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．【解析】（1）将直线l的方程整理为y－＝a（x－），∴l的斜率为a，且过定点A（，）．4而点A（，）在第一象限，故l过第一象限．∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．（2）直线OA的斜率为k＝＝3．∵l不经过第二象限，∴a≥3．数学文化蒲丰试验一天,法国数学家蒲丰请许多朋友到家里,做了一次试验．蒲丰在桌子上铺好一张大白纸,白纸上画满了等距离的平行线,他又拿出很多等长的小针,小针的长度都是平行线的一半．蒲丰说:“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧!”客人们按他说的做了．蒲丰的统计结果是：大家共掷2212次,其中小针与纸上平行线相交704次,2210÷704≈3．142．蒲丰说：“这个数是π的近似值．每次都会得到圆周率的近似值,而且投掷的次数越多,求出的圆周率近似值越精确．”这就是著名的“蒲丰试验”．4
