第一部分 第五章 课时20命题点一 矩形的性质1．(2022·遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为( C )A．10 B．12C．16 D．182．(2022·遵义)如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC，AD分别相交于P，Q两点．(1)求证：CP＝AQ；(2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E＝∠F.∵BE＝DF，∴AE＝CF.在△CFP和△AEQ中，∴△CFP≌△AEQ(ASA)，∴CP＝AQ.(2)解：∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°.∵∠AEF＝45°，∴△BEP，△AEQ是等腰直角三角形，∴BE＝BP＝1，AQ＝AE，∴PE＝BP＝，∴EQ＝PE＋PQ＝＋2＝3，∴AQ＝AE＝3，∴AB＝AE－BE＝2.∵CP＝AQ，AD＝BC，∴DQ＝BP＝1，∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4，4\n∴矩形ABCD的面积为AB·AD＝2×4＝8.命题点二 菱形的性质及判定3．(2022·遵义)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( C )A．AB＝AD B．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠BAC＝∠DAC4．(2022·遵义)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B，D重合)，折痕为EF.若DG＝2，BG＝6，则BE的长为__2.8__.【解析】如答图，过E作EH⊥BD于H，第4题答图由折叠的性质可知，EG＝EA，由题意得，BD＝DG＋BG＝8.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝8.设BE＝x，则EG＝AE＝8－x，在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，在Rt△EHG中，EG2＝EH2＋GH2，即(8－x)2＝(x)2＋(6－x)2，解得x＝2.8，即BE＝2.8.5．(2022·遵义)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO4\n并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC.(1)求证：四边形ACBP是菱形；(2)若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．(1)证明：连接AO，BO，如答图．∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，∴∠AOP＝60°.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠AOP＝∠CAO＋∠ACO，∴∠ACO＝30°，∴∠ACO＝∠APO，∴AC＝AP.同理可证BC＝PB，∴AC＝BC＝BP＝AP，∴四边形ACBP是菱形．(2)解：连接AB交PC于D，如答图．答图∵AD⊥PC，OA＝1，∠AOP＝60°，∴AD＝OA＝，∴PO＝2OA＝2，∴PC＝PO＋OC＝3，AB＝2AD＝，∴S菱形ACBP＝AB·PC＝.6．(2022·遵义)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.4\n(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)求证：四边形ADCF是菱形；(3)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE,BD＝CD.在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB(AAS)．(2)证明：由(1)知△AEF≌△DEB，则AF＝DB.∵DB＝DC,∴AF＝CD.∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形．∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC,∴四边形ADCF是菱形．(3)解：连接DF.∵AF∥BD,AF＝BD,∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5.∵四边形ADCF是菱形，∴S菱形ADCF＝AC·DF＝×4×5＝10.4
