课时训练(二十) 等腰三角形(限时:30分钟)|夯实基础|1.如图K20-1,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为( )图K20-1A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°2.[2022·南充]如图K20-2,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为( )图K20-2A.(1,1)B.(3,1)C.(3,3)D.(1,3)3.[2022·雅安]一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-7x+12=0的一根,此三角形的周长是( )A.12B.13C.14D.12或144.[2022·淄博]如图K20-3,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为( )10\n图K20-3A.4B.6C.43D.85.[2022·天津]如图K20-4,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是( )图K20-4A.BCB.CEC.ADD.AC6.[2022·无锡]如图K20-5,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是()图K20-5A.7B.22C.3D.237.[2022·临沂]如图K20-6,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是( )10\n图K20-6A.32B.2C.22D.108.[2022·淮安]已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是 . 9.[2022·吉林]我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k,若k=12,则该等腰三角形的顶角为 度. 10.[2022·泰州]如图K20-7,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=40°,则∠β等于 . 图K20-711.[2022·遵义]如图K20-8,△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点,若∠CAE=16°,则∠B为 度. 图K20-812.[2022·宁波]如图K20-9,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;10\n(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.图K20-913.[2022·武汉]如图K20-10,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE交于点G,求证:GE=GF.图K20-1010\n|拓展提升|14.[2022·绵阳]如图K20-11,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,若AE=2,AD=6,则两个三角形重叠部分的面积为( )图K20-11A.2B.3-2C.3-1D.3-315.[2022·连云港]如图K20-12,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图K20-1210\n参考答案1.D [解析]∵AC=CD=BD=BE,∠A=50°,∴∠A=∠CDA=50°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED.∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°,∴∠B=25°.∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°,∴∠BDE=∠BED=12(180°-25°)=77.5°,∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°,故选D.2.D [解析]过点B作BC⊥OA于点C,则OC=1,BC=OB2-OC2=22-12=3.∴点B的坐标为(1,3).故选D.3.C [解析]一元二次方程x2-7x+12=0的两根分别为3,4,所以腰长有两种情况:①腰长为3,底边长为6,此时三角形三边关系为3+3=6,不符合“三角形任意两边之和大于第三边”,故不成立;②腰长为4,此时三角形三边符合“三角形任意两边之和大于第三边”,所以周长为4+4+6=14.10\n4.B [解析]∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB,∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=12∠ACB,∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC,∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=12∠AMC,∴∠AMN=12∠ACB=12∠ANM,∵∠A=90°,∴∠AMN=30°,∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3,∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6,故选B.5.B [解析]由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一”可知点B与点C关于直线AD对称,连接CP,则BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE,故选B.6.A [解析]∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴∠A=90°-∠ABC=60°,AB=4,BC=23.∵CA=CA1,∴△ACA1是等边三角形,AA1=AC=BA1=2,∴∠BCB1=∠ACA1=60°.∵CB=CB1,∴△BCB1是等边三角形,∴BB1=23,∴BD=DB1=3,又∵BA1=2,∠A1BB1=90°,∴A1D=A1B2+BD2=7.故选A.7.B [解析]∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC+∠DCA=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ECB+∠DCA=90°,∴∠DAC=∠ECB,又∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE,∴CE=AD=3,CD=BE=1,∴DE=CE-CD=3-1=2,故选B.8.10 [解析]因为2+2=4,所以等腰三角形的腰的长度是4,底边长为2,周长=4+4+2=10.10\n9.36 [解析]如图,在△ABC中,AB=AC,设∠A=α,则∠B=∠C=12(180°-α),由k=12,可得12(180°-α)=2α,解出α=36°.10.20° [解析]过点A作AD∥l1,如图,则∠BAD=∠α=40°.∵l1∥l2,∴AD∥l2.∴∠DAC=∠β.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠β=∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°.11.37 [解析]因为AD=AC,E为CD的中点,所以∠DAC=2∠CAE=32°,所以∠ADC=12(180°-∠DAC)=74°,因为BD=AD,所以∠B=12∠ADC=37°.12.解:(1)证明:∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,∴∠DCE=90°,CD=CE.又∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,∵CD=CE,∠ACD=∠BCE,AC=BC,∴△ACD≌△BCE.10\n(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=45°,∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°.又AD=BF,∴BE=BF,∴∠BEF=∠BFE=180°-45°2=67.5°.13.证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,∴BF=CE.在△ABF和△DCE中,AB=DC,∠ABF=∠DCE,BF=CE,∴△ABF≌△DCE,∴∠1=∠2,∴GE=GF.14.D [解析]过点A作AF⊥CE于点F,设AB与CD的交点为M,过点M作MN⊥AC于点N,如图所示.∵△ECD为等腰直角三角形,CE=CD,∴∠E=45°.∵AE=2,AD=6,∴AF=EF=1,CE=CD=DE2=1+3,∴CF=3,∴AC=AF2+CF2=2,∠ACF=30°,10\n∴∠ACD=60°.设MN=x,∵△ABC为等腰直角三角形,CA=CB,∴∠CAB=45°,∴AN=MN=x,又∵CN=MN3=33x,∴AC=AN+CN=x+33x=2,解得x=3-3,∴S阴影=S△ACM=12×AC×MN=3-3.故选D.15.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下:因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,所以△ABE≌△ACD.所以∠ABE=∠ACD.(2)证明:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.10
