课时训练36圆的综合问题限时：30分钟夯实基础1．已知正三角形的内切圆的半径为33cm，则三角形的边长是( )A．2cm B．43cm C．23cm D．3cm2．如图K36－1，AB为☉O的直径，CD为☉O的弦，∠ACD＝28°，则∠BAD的度数为( )图K36－1A．28°B．56°C．62°D．72°3．如图K36－2，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD＝120°，过点D的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )图K36－2A．40°B．35°C．30°D．45°4．如图K36－3，☉O的半径为1，△ABC是☉O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，则这个矩形的面积是( )图K36－312\nA．2B．3C．32D．325．如图K36－4，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接AC，☉P和☉Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是( )图K36－4A．52B．5C．52D．226．如图K36－5，AB是☉O的直径，点C在☉O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在BC上(不与点B，C重合)，连接BE，CE．若∠D＝40°，则∠BEC＝ 度． 图K36－57．设O为△ABC的外心，若∠BOC＝100°，则∠A的度数为 ． 8．[2022·濮阳模拟]如图K36－6，在△ABD中，AB＝AD，以AB为直径的☉F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G，连接FE，FC．(1)求证：GC是☉F的切线．(2)填空：①若∠BAD＝45°，AB＝22，则△CDG的面积为 ； ②当∠GCD的度数为 时，四边形EFCD是菱形． 图K36－612\n能力提升9．如图K36－7，四边形ABCD内接于☉O，F是弧CD上一点，且DF＝BC，连接CF并交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为( )图K36－7A．45°B．50°C．55°D．60°10．如图K36－8，AB是☉O的直径，AB＝8，点M在☉O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为( )图K36－812\nA．4B．5C．6D．711．如图K36－9，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作☉P．当☉P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ． 图K36－912．[2022·盐城]如图K36－10，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A，D，E的圆的圆心F恰好在y轴上，☉F与y轴相交于另一点G．(1)求证：BC是☉F的切线；(2)若点A，D的坐标分别为A(0，－1)，D(2，0)，求☉F的半径；(3)试探究线段AG，AD，CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．图K36－1012\n拓展练习13．如图K36－11，已知扇形AOD的半径为4，A，B，C，D是弧上四点，且AB＝BC＝CD＝2，则AD的长度为 ． 图K36－1114．如图K36－12，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的☉P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E(位于点M右下方)，连接DE交OM于点K．(1)若点M的坐标为(3，4)．①求A，B两点的坐标；②求ME的长．(2)若OKMK＝3，求∠OBA的度数．12\n(3)设tan∠OBA＝x(0＜x＜1)，OKMK＝y，直接写出y关于x的函数解析式．图K36－1212\n参考答案1．A 2．C 3．C 4．B 5．B6．1157．50°或130°8．解：(1)证明：∵AB＝AD，FB＝FC，∴∠B＝∠D，∠B＝∠BCF，∴∠D＝∠BCF，∴CF∥AD，∵CG⊥AD，∴CG⊥CF，∴GC是☉F的切线．(2)①连接AC，BE．∵AB是☉F的直径，∴AC⊥BD，∠AEB＝90°，∵AB＝AD，∴BC＝CD．∵∠BAD＝45°，AB＝22，∴BE＝AE＝2，∴DE＝22-2．∵CG⊥AD，12\n∴CG∥BE，∴DG＝EG＝12DE＝2-1，CG＝12BE＝1，∴△CDG的面积＝12DG·CG＝2－12．故答案为2－12．②当∠GCD的度数为30°时，四边形EFCD是菱形．理由如下：∵CG⊥CF，∠GCD＝30°，∴∠FCB＝60°，∵FB＝FC，∴△BCF是等边三角形，∴∠B＝60°，CF＝BF＝12AB，∵AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，CF＝12AD，∴∠BAD＝60°，∵AF＝EF，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝12AB＝12AD，∴CF＝DE，又∵CF∥AD，∴四边形EFCD是平行四边形，∵CF＝EF，∴四边形EFCD是菱形．故答案为30°．9．B 10．B 11．3或4312．解：(1)证明：如图①，连接EF．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE．∵FE＝FA，∴∠BAE＝∠FEA，∴∠CAE＝∠FEA，∴EF∥AC，∴∠FEB＝∠C＝90°，∴EF⊥BC，12\n∴BC是☉F的切线．(2)连接FD．如图①．∵A(0，－1)，D(2，0)，∴OA＝1，OD＝2．设☉F的半径为r，则OF＝r－1．在Rt△FOD中，由勾股定理得OF2＋OD2＝FD2，∴(r－1)2＋22＝r2，解得r＝2．5．(3)线段AG，AD，CD三者满足AG＝AD＋2CD．证明如下：如图②，过点E作EM⊥AG，垂足为M．∵∠C＝90°，∴EC⊥AC．又∵AE平分∠BAC，EM⊥AG，∴EM＝EC．在Rt△AEM与Rt△AEC中，AE＝AE﹐EM＝EC﹐∴Rt△AEM≌Rt△AEC(HL)，∴AM＝AC，∴AG－MG＝AD＋CD．连接GE，ED．∵∠BAE＝∠CAE，∴EG＝ED，∴EG＝ED，同理Rt△GEM≌Rt△DEC(HL)．12\n∴MG＝CD，∴AG－CD＝AD＋CD，即AG＝AD＋2CD．13．5．5 [解析]连接OB，OC，分别交AD于点E，点F，连接AC，如图所示．∵AB＝BC＝CD＝2，∴AB＝BC＝CD，∴∠3＝∠2，∠5＝∠6，∴BC∥AD，∠4＝∠3＋∠7＝∠2＋∠7＝∠ODC＝∠1，∴DF＝CD＝2，同理，AE＝AB＝2．由△CDF∽△COD，得CFCD＝CDCO，∴CF＝1，则OF＝3．由△OEF∽△OBC，得EFBC＝OFOC＝34，∴EF＝1．5，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋1．5＋2＝5．5．14．解：(1)①连接DM，MC，∵OM为直径，∴∠MDO＝∠MCO＝90°．∵∠AOB＝90°，∴MD∥OA，MC∥OB．∵M是AB的中点，∴D是OB的中点，C是OA的中点．∵M(3，4)，∴OB＝2MC＝8，OA＝2MD＝6，∴A(6，0)，B(0，8)．②由①知在Rt△AOB中，OA＝6，OB＝8，∴AB＝10．12\n∵M为AB的中点，∴BM＝12AB＝5．∵∠BOM＝∠BED，∠OBM＝∠EBD，∴△OBM∽△EBD，∴BMBD＝BOBE，∴BE＝BO·BDBM＝8×45＝6．4，∴ME＝BE－BM，∴ME＝6．4－5＝1．4．(2)连接DP，∵OKMK＝3，∴OK＝3MK，OM＝4MK，∴PK＝MK．∵OP＝PM，BD＝DO，∴DP为△BOM的中位线，∴DP∥BM，∴∠PDK＝∠MEK，又∵∠PKD＝∠MKE，∴△DPK≌△EMK，∴DK＝KE．∵OM为直径，∴OM⊥DE，∴cos∠DPK＝PKPD，∵DP＝PM＝2PK，∴cos∠DPK＝12．∴∠DPK＝60°，∴∠DOM＝30°．∵在Rt△AOB中，M为AB的中点，∴BM＝MO，∴∠OBA＝∠DOM，∴∠OBA＝30°．(3)y关于x的函数解析式为y＝21－x2．下列解答过程仅供参考：连接OE．∵OM为直径，∴∠MEO＝90°．设BE＝1，∵tan∠OBA＝x，∴在Rt△OBE中，OE＝BE·tan∠OBA＝x，设BM＝OM＝m，则ME＝BE－BM＝1－m，∴在Rt△OME中，(1－m)2＋x2＝m2，∴m＝1＋x22，∴ME＝1－m＝1－x22，DP＝12BM＝12m＝1＋x24．∵△DPK∽△EMK，∴PKKM＝DPME＝1＋x241－x22＝1＋x22(1－x2)，∴MPMK＝PK＋MKMK＝3－x22(1－x2)．12\n∵P为MO的中点，∴OMMK＝2MPMK＝3－x21－x2，∴y＝OKMK＝OM－MKMK＝(3－x2)－(1－x2)1－x2＝21－x2，∴y关于x的函数解析式为y＝21－x2．12
