课时训练(二十五) 直线与圆的位置关系(限时:50分钟)|夯实基础|1.[2022·保定二模]如图K25-1,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是( )图K25-1A.相切B.相交B.C.相离D.无法确定2.[2022·眉山]如图K25-2所示,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,线段PO交☉O于点C,连接BC,若∠P=36°,则∠B等于( )图K25-2A.27°B.32°C.36°D.54°3.如图K25-3,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,且AB∥CD,若OB=6cm,OC=8cm,则BE+CG的长等于( )18\n图K25-3A.13cmB.12cmC.11cmD.10cm4.[2022·烟台]如图K25-4,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为( )图K25-4A.56°B.62°C.68°D.78°5.[2022·安徽]如图K25-5,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E,若点D是AB的中点,则∠DOE= . 图K25-56.关注数学文化《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步,股十五步.问勾中容圆径几何?”其意思是:“如图K25-6,今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”上述材料中内切圆的直径为 步. 图K25-67.[2022·临沂]如图K25-7,在△ABC中,∠A=60°,BC=5cm,能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm. 18\n图K25-78.[2022·包头]如图K25-8,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在BC上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC= 度. 图K25-89.[2022·天津节选]已知AB是☉O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°.如图K25-9,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的大小.图K25-918\n10.[2022·黄石]如图K25-10,已知A,B,C,D,E是☉O上五点,☉O的直径BE=23,∠BCD=120°,A为BE的中点,延长BA到点P,使AP=BA,连接PE.图K25-10(1)求线段BD的长;(2)求证:直线PE是☉O的切线.11.[2022·曲靖]如图K25-11,AB为☉O的直径,点C为☉O上一点,将BC沿直线BC翻折,使BC的中点D恰好与圆心O重合,连接OC,CD,BD,过点C的切线与线段BA的延长线交于点P,连接AD,在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC.18\n图K25-11(1)判断PM与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若PC=3,求四边形OCDB的面积.18\n12.如图K25-12,△ABC是一块直角三角板,且∠C=90°,∠A=30°,现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部.图K25-12(1)如图①,当圆形纸片与两直角边AC,BC都相切时,试用直尺与圆规作出射线CO.(不写作法与证明,保留作图痕迹)(2)如图②,将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周,回到起点位置时停止.若BC=9,圆形纸片的半径为2,求圆心O运动的路径长.18\n|拓展提升|13.[2022·百色]以坐标原点O为圆心,作半径为2的圆,若直线y=-x+b与☉O相交,则b的取值范围是( )A.0≤b<22B.-22≤b≤22C.-23<b<23D.-22<b<2214.[2022·唐山乐亭二模]如图K25-13,直线AB,CD相交于点O,∠AOD=30°,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上,且与点O的距离为6cm.如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么几秒钟后☉P与直线CD相切( )图K25-13A.4B.8C.4或6D.4或815.如图K25-14,直线l1∥l2,☉O与l1和l2分别相切于点A和点B.直线MN与l1相交于M,与l2相交于N,☉O的半径为1,∠1=60°,直线MN从如图位置向右平移,下列结论:①l1和l2的距离为2;②MN=433;③当直线MN与☉O相切时,∠MON=90°;④当AM+BN=433时,直线MN与☉O相切.正确的个数是( )图K25-14A.1B.2C.3D.416.[2022·宁波]如图K25-15,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作☉P.当☉P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为 . 18\n图K25-1517.[2022·南京]结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答.题目:如图K25-16,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.图K25-16解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得x2+7x=12.所以S△ABC=12AC·BC=12(x+3)(x+4)=12(x2+7x+12)=12×(12+12)=12.小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?18\n请你帮她完成下面的探索.已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.倒过来思考呢?(2)若AC·BC=2mn,求证∠C=90°.改变一下条件……(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.18\n参考答案1.B [解析]过点A作AM⊥BC于点M,交DE于点N,∴AM·BC=AC·AB,∴AM=3×45=125.∵D,E分别是AC,AB的中点,∴DE∥BC,DE=12BC=2.5,∴AN=MN=12AM,∴MN=1.2,∵以DE为直径的圆的半径为1.25,1.25>1.2,∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交.故选B.2.A [解析]由PA是☉O的切线,可得∠OAP=90°,∴∠AOP=54°,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得∠B=27°.3.D [解析]∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵CD,BC,AB分别与☉O相切于G,F,E,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠BCD,BE=BF,CG=CF,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°,∴BC=OB2+OC2=10,∴BE+CG=10(cm).故选D.4.C [解析]∵点I是△ABC的内心,∴∠BAC=2∠IAC,∠ACB=2∠ICA,∵∠AIC=124°,∴∠B=180°-(∠BAC+∠ACB)=180°-2(∠IAC+∠ICA)=180°-2(180°-∠AIC)=68°,又四边形ABCD内接于☉O,∴∠CDE=∠B=68°,故选C.5.60° [解析]连接OA,∵四边形ABOC是菱形,18\n∴BA=BO,∵AB与☉O相切于点D,∴OD⊥AB.∵D是AB的中点,∴OD是AB的垂直平分线,∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOD=12∠AOB=30°,同理∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°,故答案为60°.6.67.1033 [解析]设圆的圆心为点O,能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆,连接OB,OC,∵在△ABC中,∠A=60°,BC=5cm,∴∠BOC=120°,作OD⊥BC于点D,则∠ODB=90°,∠BOD=60°,∴BD=52,∴OB=52sin60°,即OB=533,∴2OB=1033,即△ABC外接圆的直径是1033cm,8.115 [解析]连接OC,AC,由CD是切线得∠OCD=90°.又因为∠D=40°可得∠COD=50°.因为OA=OC,可得∠OAC=65°.因为四边形ACEB是圆内接四边形,由圆内接四边形对角互补得到∠BEC的度数.9.解:如图,连接OD.∵DP切☉O于点D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°.∵DP∥AC,∠BAC=38°,∴∠P=38°,18\n∵∠AOD是△ODP的外角,∴∠AOD=∠ODP+∠P=128°.∴∠ACD=12∠AOD=64°.又OA=OC,得∠ACO=∠A=38°.∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.10.解:(1)连接DE,如图,∵∠BCD+∠DEB=180°,∴∠DEB=180°-120°=60°.∵BE为直径,∴∠BDE=90°,在Rt△BDE中,DE=12BE=12×23=3,BD=3DE=3×3=3.(2)证明:连接EA,如图,∵BE为直径,∴∠BAE=90°,∵A为BE的中点,∴∠ABE=45°,AB=AE,∵BA=AP,而EA⊥BA,∴△BEP为等腰直角三角形,∴∠PEB=90°,∴PE⊥BE,∴直线PE是☉O的切线.11.解:(1)PM与☉O相切.理由如下:连接DO并延长交PM于E,如图,∵BC沿直线BC翻折,BC的中点D恰好与圆心O重合,∴OC=DC,BO=BD,18\n∴OC=DC=BO=BD,∴四边形OBDC为菱形,∴OD⊥BC,∴△OCD和△OBD都是等边三角形,∴∠COD=∠BOD=60°,∴∠COP=∠EOP=60°.∵∠MPB=∠ADC,而∠ADC=∠ABC,∴∠ABC=∠MPB,∴PM∥BC,∴OE⊥PM,∴OE=OP·cos60°=12OP,∵PC为☉O的切线,∴OC⊥PC,∴OC=12OP,∴OE=OC,而OE⊥PM,∴PM是☉O的切线.(2)在Rt△OPC中,OC=33PC=33×3=1,∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2×34×12=32.12.解:(1)如图①,CP就是所要求作的射线.18\n(2)如图②,△OO1O2就是圆心O的路径.由题意得OO1∥BC,O1O2∥AB,OO2∥AC.易证△OO1O2∽△CBA,∴△OO1O2的周长△ABC的周长=OO1BC.过点O作OD⊥BC,垂足为点D,过点O1作O1E⊥BC,O1F⊥AB,垂足分别为点E,F,连接BO1,则四边形ODEO1是矩形.∵O1E=O1F,O1E⊥BC,O1F⊥AB,∴BO1平分∠ABC.∴∠O1BE=12∠ABC=12×60°=30°.∴BE=3O1E=23.∴DE=BC-CD-BE=9-2-23=7-23.∴OO1=DE=7-23.在Rt△ABC中,∵BC=9,∠A=30°,∴AB=2BC=18,AC=3BC=93.∴△ABC的周长为27+93.∴△OO1O2的周长27+93=7-239.∴△OO1O2的周长为15+3,即圆心O运动的路径长为15+3.13.D [解析]如图,将直线y=-x向上平移为y=-x+b1,当y=-x+b1与圆相切时,b1最大,由平移知∠CAO=∠AOC=45°,OC=2,∴OA=b1=22.同理,将y=-x向下平移为y=-x+b2,当y=-x+b2与圆相切时,b2最小,此时b2=-22,∴当y=-x+b与圆相交时,b的取值范围为-22<b<22.14.D [解析]由题意CD与☉P1相切于点E,∴P1E⊥CD.又∵∠AOD=30°,r=1cm,∴在△OEP1中,OP1=2cm.又∵OP=6cm,∴P1P=4cm,∴☉P到达☉P1需要时间为:4÷1=4(秒).同理,当☉P在直线CD的右侧时,P1P=8cm,∴☉P到达☉P1需要时间为:8÷1=8(秒),∴☉P与直线CD相切时,时间为4或8秒.故选D.18\n15.D [解析]如图①,∵☉O与l1和l2分别相切于点A和点B,∴OA⊥l1,OB⊥l2,∵l1∥l2,∴点A,B,O共线,∴l1和l2的距离=AB=2,所以①正确;作NH⊥AM,如图①,则四边形ABNH为矩形,∴NH=AB=2.在Rt△MNH中,∵∠1=60°,∴MN=NHsin60°=433,所以②正确;当直线MN与☉O相切时,如图②,则∠5=∠2,∠3=∠4,∵l1∥l2,∴∠5+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠5+∠3=90°,∴∠MON=90°,所以③正确;过点O作OC⊥MN于C,如图②,∵S四边形ABNM=S△OAM+S△OMN+S△OBN,∴12×1×AM+12×1×BN+12MN·OC=12(BN+AM)×2,即12(AM+BN)+12MN·OC=AM+BN,∵AM+BN=433,MN=433,∴OC=1,而OC⊥MN,∴直线MN与☉O相切,所以④正确.16.3或43 [解析]如图①,当☉P与直线CD相切时,设PC=PM=x.18\n在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,∴x2=42+(8-x)2,∴x=5,∴PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.如图②,当☉P与直线AD相切时,设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形.∴PM=PK=CD=2BM,∵BM=4,∴PM=8,在Rt△PBM中,PB=82-42=43.综上所述,BP的长为3或43.17.[解析](1)根据题目中所给的方法由切线长定理知AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x,根据勾股定理得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,即x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面积公式计算;(2)由AC·BC=2mn得(x+m)(x+n)=2mn,即x2+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求证;(3)作AG⊥BC,由三角函数得AG=AC·sin60°=32(x+m),CG=AC·cos60°=12(x+m),BG=BC-CG=(x+n)-12(x+m),在Rt△ABG中,根据勾股定理可得x2+(m+n)x=3mn,最后利用三角形的面积公式计算可得.解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.根据切线长定理,得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.(1)证明:如图,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2.整理,得x2+(m+n)x=mn.所以S△ABC=12AC·BC=12(x+m)(x+n)=12[x2+(m+n)x+mn]=12(mn+mn)18\n=mn.(2)证明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2.根据勾股定理的逆定理,得∠C=90°.(3)如图,过点A作AG⊥BC,垂足为G.在Rt△ACG中,AG=AC·sin60°=32(x+m),CG=AC·cos60°=12(x+m).所以BG=BC-CG=(x+n)-12(x+m).在Rt△ABG中,根据勾股定理,得32(x+m)2+(x+n)-12(x+m)2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=3mn,所以S△ABC=12BC·AG=12(x+n)·32(x+m)=34[x2+(m+n)x+mn]=34(3mn+mn)=3mn.18\n18
