第7讲分式方程 分式方程及解法分式方程的概念分母里含有①______的方程叫做分式方程.分式方程的解法解分式方程的基本思路是将分式方程转化为②____方程，具体步骤是：(1)去分母，在方程的两边都乘以③__________，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果④______，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤与一次方程(组)的应用题不一样的是：要检验⑤____次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否⑥________．分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，分式方程也无解．命题点1 分式方程的解法 (2022·菏泽)解分式方程：＋＝1.【思路点拨】 先确定最简公分母(x＋2)(x－2)，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，最后要检验．【解答】 解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，并检验该整式方程的解是不是原分式方程的解．1．(2022·济宁)解分式方程＋＝3时，去分母后变形正确的为( )A．2＋(x＋2)＝3(x－1)B．2－x＋2＝3(x－1)8\nC．2－(x＋2)＝3D．2－(x＋2)＝3(x－1)2．(2022·常德)分式方程＋＝1的解为( )A．1B．2C.D．03．(2022·荆州)若关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是( )A．m>－1B．m≥－1C．m>1且m≠1D．m≥－1且m≠14．(2022·深圳)解方程：＋＝4.命题点2 分式方程的应用 (2022·烟台)2022年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通．从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时．已知烟台到北京的普快列车里程约1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍．(1)求高铁列车的平均时速；(2)某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至该市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？【思路点拨】 (1)利用等量关系“从烟台到北京的普快时间－从烟台到北京的高铁时间＝9时”列分式方程解决；(2)计算出到达会议地点的时间即可判断．【解答】 列分式方程解应用题的关键是分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系，从而得到等量关系式，进而引进未知数，列出方程解决问题．利用分式方程解应用题一定要注意检验，找出符合实际情况的答案．1．(2022·遂宁)遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克．为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克．种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均亩产量为1.5x万千克．根据题意列方程为( )8\nA.－＝20B.－＝20C.－＝20D.＋＝202．(2022·莱芜)已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是( )A.＝B.＝C.＝D.＝3．(2022·东营)为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造．根据市政建设的需要，须在40天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程．经调查知道：乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程的时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成．甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？1．(2022·孝感)分式方程＝的解为( )A．x＝－B．x＝C．x＝D．x＝2．(2022·自贡)方程＝0的解是( )A．1或－1B．－1C．0D．13．(2022·德州)方程－＝1的解为x＝________.4．(2022·威海)分式方程＝－2的解为________．5．(2022·巴中)若分式方程－＝2无解，则m的值是________．6．(2022·盘锦)小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意列方程为________________．7．解分式方程：(1)(2022·南京)＝；8\n(2)(2022·绵阳)＝1－.8．(2022·苏州)甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？9．(2022·济南)济南与北京两地相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通列车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．10．(2022·聊城)在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空，根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花，已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花盒数的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？8\n11．(2022·自贡)学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成．现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成？(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？12．(2022·荆门)已知：点P(1－2a，a－2)关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程＝2的解是( )A．5B．1C．3D．不能确定13．(2022·绥化)若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是________．14．(2022·宁波)宁波火车站北广场将于2022年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．(1)A、B两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？8\n15．(2022·湖州)某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原原计划每天生产的零件总数还多20%.按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．考点解读①未知数 ②整式 ③最简公分母 ④不为0 ⑤两 ⑥符合题意各个击破例1 方程两边同乘以(x＋2)(x－2)．去分母，得2＋x(x＋2)＝x2－4.去括号，得2＋x2＋2x＝x2－4.移项，得x2＋2x－x2＝－4－2.合并，得2x＝－6.系数化为1，得x＝－3.检验：当x＝－3时，(x＋2)(x－2)＝5≠0，∴x＝－3是原方程的解．题组训练 1.D 2.A 3.D 5.去分母，得x－5＝4(2x－3)．去括号，得x－5＝8x－12.移项，合并得－7x＝－7.系数化为1，得x＝1.检验：当x＝1时，最简公分母2x－3＝2×1－3≠0，∴原方程的解是x＝1.例2 (1)设普快列车的平均时速为x千米/时，则高铁列车的平均时速为2.5x千米/时．根据题意，得－＝9.解得x＝72.经检验x＝72是原方程的解，且符合题意.2.5x＝180.答：高铁列车的平均时速为180千米/时．(2)630÷180＝3.5(小时)，3.5＋1.5＝5(小时)，8：40＋5＝13：40.∴王老师可以在14：00之前赶到．题组训练 1.A 2.B 3.设甲工程队单独完成此项工程需x天，8\n则乙工程队单独完成此项工程需2x天．由题意得＋＝.解得x＝15.经检验，x＝15是原方程的解．∴2x＝30.答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天．整合集训1.B 2.D 3.2 4.x＝4 5.－1 6.－＝ 7.(1)方程两边乘x(x－3)，得2x＝3(x－3)．解得x＝9.检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.∴原方程的解为x＝9.原方程可变形为：＝1－.方程两边都乘以2(x＋1)，得3＝2(x＋1)－2.解得x＝.检验：当x＝时，2(x＋1)＝2(＋1)＝5≠0，∴原方程的解为x＝. 8.设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做(x＋5)面彩旗．根据题意，得＝.解得x＝25.经检验，x＝25是所列方程的解．∴x＋5＝30.答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗． 9.设普通列车的行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均行驶速度为3xkm/h.由题意可知－＝4.解得x＝80.经检验，x＝80是分式方程的解，且符合题意．∴3x＝240.答：高铁列车的平均行驶速度为240km/h. 10.设第二批鲜花每盒的进价是x元，则第一批鲜花每盒的进价是(x＋10)元，由题意得×＝.解得x＝150.经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意．答：第二批鲜花每盒的进价是150元． 11.(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟完成，则(＋)×20＋＝1.解得x＝80.经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意．答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟完成．设李老师要工作m分钟，则＋≥1.解得x≥25.答：李老师至少要工作25分钟． 12.C 13.1或2 14.(1)设B花木的数量是x棵，则A花木的数量是(2x－600)棵，根据题意得x＋(2x－600)＝6600.解得x＝2400.所以2x－600＝4200.答：A花木的数量是4200棵，B花木的数量是2400棵．(2)设安排y人种植A花木，则安排(26－y)人种植B花木，根据题意得＝.解得y＝14.经检验，y＝14是原方程的根，且符合题意.26－y＝12.答：安排14人种植A花木，12人种植B花木，才能确保同时完成各自的任务． 8\n15.(1)设原计划每天生产零件x个，由题意得＝.解得x＝2400.经检验，x＝2400是原方程的根，且符合题意．∴规定的天数为24000÷2400＝10(天)．答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天．原计划安排的工人人数为y人，由题意得[5×20×(1＋20%)×＋2400]×(10－2)＝24000.解得y＝480.经检验，y＝480是原方程的根，且符合题意．答：原计划安排的工人人数为480人．8
