中档解答组合限时练(二)[限时:25分钟 满分:28分]18.(6分)如图J2-1,在△ABC中,∠ABC=90°.(1)请在边BC上找一点P,作☉P与AC,AB都相切,与AC相切于点Q;(尺规作图,保留作图痕迹)(2)若AB=3,BC=4,求(1)中所作圆的半径;(3)连结BQ,(2)中的条件均不变,求sin∠CBQ.图J2-17\n19.(6分)如图J2-2,在△ABC中,∠CAB=90°,∠CBA=50°,以AB为直径作☉O交BC于点D,点E在边AC上,且满足ED=EA.(1)求∠DOA的度数;(2)求证:直线ED与☉O相切.图J2-220.(8分)小沈准备给小陈打电话,由于保管不善,电话本上小陈手机号码中,有两个数字已模糊不清.如果用x,y表示这两个看不清的数字,那么小陈的手机号码为139x370y580(手机号码由11个数字组成),小沈记得这11个数字之和是20的整数倍.求:(1)x+y的值;7\n(2)小沈一次拨对小陈手机号码的概率.21.(8分)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.(1)求证:无论k取任何实数,方程总有实数根;(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2,请结合函数图象确定实数a的取值范围;(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.7\n7\n参考答案18.解:(1)如图,☉P为所作.(2)连结PQ,如图.在Rt△ABC中,AC=32+42=5,设半径为r,BP=PQ=r,PC=4-r.∵AC与☉P相切于点Q,∴PQ⊥AC,∵∠PCQ=∠ACP,∴Rt△CPQ∽Rt△CAB,∴PQAB=CPCA,即r3=4-r5,解得r=32.(3)∵AB,AQ为☉P的切线,∴AB=AQ.∵PB=PQ,∴AP为BQ的垂直平分线,∴∠BAP+∠ABQ=90°.∵∠CBQ+∠ABQ=90°,∴∠CBQ=∠BAP.在Rt△ABP中,AP=32+(32) 2=352,∴sin∠BAP=BPAP=32352=55,∴sin∠CBQ=55.7\n19.解:(1)∵∠CBA=50°,∴∠DOA=2∠DBA=100°.(2)证明:如图,连结OE.在△EAO和△EDO中,∵AO=DO,EA=ED,EO=EO,∴△EAO≌△EDO,∴∠EDO=∠EAO=90°,∴OD⊥DE,∴直线ED与☉O相切.20.解:(1)由题意1+3+9+x+3+7+0+y+5+8+0=x+y+36=20n(n为正整数).因为0≤x≤9,0≤y≤9,所以0≤x+y≤18.所以36≤x+y+36≤54,即36≤20n≤54,所以n=2,x+y=4.(2)因为x+y=4,所以:①x=0,y=4;②x=1,y=3;③x=2,y=2;④x=3,y=1;⑤x=4,y=0.所以一次拨对小陈手机号码的概率为15.21.解:(1)证明:①当k=0时,方程为x+2=0,∴x=-2,方程有实数根;②当k≠0时,∵(2k+1)2-4k×2=(2k-1)2≥0,7\n∴方程有实数根.∴无论k取任何实数,方程总有实数根.(2)令y=0,则kx2+(2k+1)x+2=0,解得x1=-2,x2=-1k.∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,∴k=1.∴该抛物线的解析式为y=x2+3x+2,当x=1时,y2=6,由x2+3x+2=6,得x1=-4,x2=1.如图,当y1>y2时,a>1或a<-4.(3)依题意得k(x2+2x)+x-y+2=0恒成立,则x2+2x=0,x-y+2=0,解得x=0,y=2,或x=-2,y=0.所以抛物线恒过定点(0,2),(-2,0).7
