第一节 平行四边形(含多边形)1.命题角度1[2022海南]如图,▱ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为( )A.15 B.18 C.21 D.242.命题角度2[2022山东东营]如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,AB=BF.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形,你认为下面四个条件中可选择的是( )A.AD=BCB.CD=BFC.∠A=∠C D.∠F=∠CDF3.命题角度2[2022安徽]在▱ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )A.BE=DFB.AE=CFC.AF∥CED.∠BAE=∠DCF4.命题角度1[2022郑州一模]如图所示,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于12BF的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF,BF,BF与AE交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则∠ABC的度数为 . 5.命题角度1[2022湖北武汉四调]如图,在▱ABCD中,AB=8cm,BC=16cm,∠A=60°.点E从点D出发,沿DA边向点A运动,点F从点B出发,沿BC边向点C运动,点E的运动速度为2cm/s,点F的运动速度为1cm/s,它们同时出发,同时停止运动.经过 s时,EF=AB. (第5题) (第6题)6.命题角度1和25\n[2022江苏无锡]如图,已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=2.过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC.点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD∥OY交OX于点D,作PE∥OX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是 . 第二节 矩形、菱形和正方形1.命题角度1如图,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,点E是边AD上的一个动点,把△BAE沿BE折叠,点A落在点A'处,如果点A'恰好在矩形的对称轴上,那么AE的长为 . (第1题) (第2题)2.命题角度2[2022湖北随州]如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边长为2,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,∠AOC=60°,若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°,得到四边形OA'B'C',则点B的对应点B'的坐标为 . 3.命题角度2如图,在菱形ABCD中,AB=3,∠B=120°,点E是AD边上的一个动点(不与点A,D重合),EF∥AB交BC于点F,点G在CD上,DG=DE.若△EFG是等腰三角形,则DE的长为 . (第3题) (第4题)4.命题角度4[2022濮阳二模]如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点A为顶点的45°角的两边与BC延长线,DC延长线分别交于点M,N,连接MN,则△MCN的面积为 . 5.命题角度3[2022新疆乌鲁木齐]如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.6.如图,矩形ABCD中,AB=2cm,BC=5cm,两动点P,Q分别同时从顶点D,B出发,以1cm/s的速度沿边DA,BC方向向点A,C运动(端点不计),设运动时间为t(s),连接AQ,DQ,过P作PE∥DQ交AQ于点E,PF∥AQ交DQ于点F.(1)求证:△APE∽△PDF;(2)填空:①当t= s时,四边形PEQF为菱形; ②当t= s时,四边形PEQF为矩形. 5\n参考答案第一节 平行四边形(含多边形)1.A ∵▱ABCD的周长为36,∴BC+CD=18.由题意可得OD=OB,DE=EC,∴OE=12BC,∴OE+DE=12(BC+CD)=9.∵BD=12,∴OD=12BD=6,∴△DOE的周长为9+6=15,故选A.2.D 当∠F=∠CDF时,CD∥AF,又∵∠CED=∠BEF,EC=BE,∴△CDE≌△BFE,∴CD=BF,又∵BF=AB,∴CD=AB,∴四边形ABCD是平行四边形.故选D.3.B 如图,由题意可得AB=CD,AB∥CD,所以∠ABE=∠CDF.结合选项A或D中的条件均可得到△ABE≌△CDF,则AE=CF,∠AEB=∠CFD,所以∠AEF=∠CFE,所以AE∥CF,由此可得四边形AECF一定为平行四边形;结合选项C中的条件可得到△ABF≌△CDE,则AF=CE,由此可得四边形AECF一定为平行四边形;结合选项B中的条件不一定能得出四边形AECF是平行四边形.4.120° ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB,由题意知∠BAE=∠FAE,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形.∵四边形ABEF的周长为40,∴AB=AF=10.∵BF=10,∴△ABF是等边三角形,∴∠ABF=60°,∴∠ABC=2∠ABF=120°.5.83或163 如图,过点B作BG⊥AD于点G,则AG=12AB=4cm.设经过xs时,EF=AB,分以下两种情况.①当四边形ABFE是平行四边形时,BF=AE,即x=16-2x,解得x=163.②当四边形ABFE是等腰梯形时,BF+2AG=AE,即x+2×4=16-2x,解得x=83.综上所述,经过83或163s时,EF=AB.6.2≤a+2b≤5 如图,过点P作PH⊥OY于点H.∵∠XOY=60°,OA=2,∴OC=12OA=1.∵PD∥OY,PE∥OX,∴四边形ODPE是平行四边形,∴EP=OD=a.∵PE∥OX,∴∠HEP=∠XOY=60°.∵PH⊥OY,∴EH=12EP=12a,∴a+2b=2EH+2OE=2(OE+EH)=2OH.当点P在AC边上时,点H与点C重合,OH最小值=1,即(a+2b)最小值=2;当点P与点B重合时,OH最大值=1+32=52,即(a+2b)最大值=5,故2≤a+2b≤5.第二节 矩形、菱形和正方形5\n1.1或33 分别取AD,BC,AB,CD的中点M,N,P,Q,作直线MN,PQ,则直线MN,PQ为矩形ABCD的对称轴.∵△ABE沿BE折叠得到△A'BE,∴A'E=AE,A'B=AB=1.分两种情况:①当点A'在直线MN上时,BN=AM=1,又A'B=1,∴点A'与点N重合,点E与点M重合,∴AE=1.②如图,当点A'在直线PQ上时,∵AP=PB=12,A'B=AB=1,AB⊥PQ,∴∠PBA'=60°,∴∠EBA=30°,∴AE=AB·tan30°=1×33=33.综上所述,AE的长为1或33.2.(6,-6) 连接OB,OB',过点B'作B'D⊥x轴于点D,则∠BOB'=75°,又∵∠BOC=30°,∴∠B'OD=45°.根据菱形的性质可得OB'=OB=2cos∠BOC·OC=2×32×2=23,∴OD=B'D=sin∠B'OD·OB'=22×23=6.又∵点B'位于第四象限,∴点B'的坐标为(6,-6).3.33或1 ∵四边形ABCD是菱形,∠B=120°,∴∠D=∠B=120°,∠A=180°-120°=60°,BC∥AD.∵EF∥AB,∴四边形ABFE是平行四边形,∠DEF=∠A=60°,∠EFC=∠B=120°,∴EF=AB=3.∵DE=DG,∴∠DEG=∠DGE=30°,∴∠FEG=30°.(1)当EG=EF=3时,过点D作DH⊥EG于点H,则EH=12EG=32.在Rt△DEH中,DE=HEcos30°=1.(2)当GE=GF时,如图,过点G作GQ⊥EF于点Q,则EQ=12EF=32.在Rt△EQG中,∠QEG=30°,∴EG=1.过点D作DP⊥EG于点P,则PE=12EG=12,∴DE=33.(3)当EF=FG时,∠EFG=180°-2×30°=120°,则∠EFG=∠CFE,此时点C和点G重合,点E和点A重合,不符合题意.综上,DE的长为33或1.4.16 连接AC,∵∠MAC+∠CAN=45°,∠DAM+∠MAC=45°,∴∠CAN=∠DAM.∵DA∥CB,∴∠AMC=∠DAM,∴∠CAN=∠AMC,又∠ACD+∠DCM=∠ACB+∠BCN,即∠ACM=∠ACN,∴△MAC∽△ANC,∴MCAC=ACCN,∴MC·CN=AC2=AB2+BC2=32,∴△MCN的面积为12MC·CN=16.5.(1)证明:∵AD∥BC,AE∥DC,5\n∴四边形AECD是平行四边形.∵∠BAC=90°,E是BC的中点,∴AE=CE,∴四边形AECD是菱形.(2)如图,过点A作AH⊥BC于点H.∵∠BAC=90°,AB=6,BC=10,∴AC=102-62=8.∵S△ABC=12BC·AH=12AB·AC,∴AH=6×810=245.∵S菱形AECD=CE·AH=CD·EF,CE=CD,∴EF=AH=245.6.(1)证明:∵PE∥DQ,∴∠APE=∠PDF,∵PF∥AQ,∴∠PAE=∠DPF,∴△APE∽△PDF.(2)①2.5②1或45
