第一节 实 数1.命题角度3[2022湖北荆州]解分式方程1x-2-3=42-x时,去分母可得( ) A.1-3(x-2)=4B.1-3(x-2)=-4C.-1-3(2-x)=-4D.1-3(2-x)=42.命题角度3[2022山东德州]分式方程xx-1-1=3(x-1)(x+2)的解为( )A.x=1B.x=2C.x=-1D.无解3.命题角度3[2022湖南衡阳]衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产值30万千克,为了满足市场需求,现决定改良梨树品种,改良后平均每亩产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克?设原来平均每亩产量为x万千克,根据题意,列方程为( ) A.30x-361.5x=10 B.30x-301.5x=10C.361.5x-30x=10D.30x+361.5x=104.命题角度2[2022山东东营]小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同.由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为( )A.19B.18C.16D.155.命题角度1[2022山东德州]对于实数a,b,定义运算“◆”:a◆b=a2+b2,(a≥b)ab,(a<b)例如4◆3,因为4>3,所以4◆3=42+32=5.若x,y满足方程组4x-y=8,x+2y=29,则x◆y= . 6.命题角度2[2022江西]中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一,其中有一问题:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金八两.问牛羊各直金几何?”译文:今有牛5头,羊2头,共值金10两;牛2头,羊5头,共值金8两.问牛、羊每头各值金多少?设牛、羊每头各值金x两、y两,依题意,可列出方程组为 . 7.命题角度2[2022山东青岛]5月份,甲、乙两个工厂用水量共200吨.进入夏季用水高峰期后,两工厂积极响应国家号召,采取节水措施.6月份,甲工厂用水量比5月份减少了15%,乙工厂用水量比5月份减少了10%,两个工厂6月份用水量共174吨,求两个工厂5月份的用水量各是多少吨.设甲工厂5月份用水量为x吨,乙工厂5月份用水量为y吨,根据题意列关于x,y的方程组为 . 8.命题角度1[2022四川攀枝花]解方程:x-32-2x+13=1.5\n9.命题角度1[2022浙江舟山]用消元法解方程组x-3y=5,①4x-3y=2②时,两位同学的解法如下:解法一:由①-②,得3x=3.解法二:由②得,3x+(x-3y)=2,③把①代入③,得3x+5=2.(1)反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“ד.(2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答.第二节 一元二次方程1.命题角度2[2022山西]下列一元二次方程中,没有实数根的是( ) A.x2-2x=0B.x2+4x-1=0C.2x2-4x+3=0D.3x2=5x-22.命题角度1[2022广西柳州]一元二次方程x2-9=0的解是 . 3.命题角度1[2022四川南充]若2n(n≠0)是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根,则m-n的值为 . 4.命题角度1[2022贵州黔西南州]三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2-6x+8=0的解,则此三角形的周长是 . 5.命题角度3[2022辽宁沈阳]某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2,3,4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率;(2)请你预测4月份该公司的生产成本.6.命题角度3[2022重庆A卷改编]在美丽乡村建设中,某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.到今年5月底,道路硬化和道路拓宽的里程数分别为40千米和10千米.已知2022年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米,每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1∶2,且里程数之比为2∶1.为加快美丽乡村建设,政府决定加大投入.经测算,从今年6月起至年底,如果政府投入经费在2022年的基础上增加10a%(a>0),并全部用于道路硬化和道路拓宽,且每千米道路硬化、道路拓宽的经费也在2022年的基础上分别增加a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值.第三节 一次不等式与一次不等式组1.命题角度1[2022山东临沂]不等式组1-2x<3,x+12≤2的正整数解的个数是( ) A.5B.4C.3D.22.命题角度1[2022湖北天门]若关于x的一元一次不等式组6-3(x+1)<x-9,x-m>-1的解集是x>3,则m的取值范围是( )5\nA.m>4B.m≥4C.m<4D.m≤43.命题角度1[2022原创]不等式组x-1>0,3x-42≤x-1的解集在数轴上应表示为( )4.命题角度2[2022河南B卷]为奖励在社会实践活动中表现优异的同学,某校准备购买一批文具袋和水性笔作为奖品.已知文具袋的单价是水性笔单价的5倍,购买5支水性笔和3个文具袋共需60元.(1)求文具袋和水性笔的单价.(2)学校准备购买文具袋10个,水性笔若干支(超过10支).文具店给出两种优惠方案:A:购买一个文具袋,赠送1支水性笔;B:购买水性笔10支以上,超出10支的部分按原价的八折优惠,文具袋不打折.①设购买水性笔x支,选择方案A的总费用为y1元,选择方案B的总费用为y2元,分别求出y1,y2与x的函数关系式.②该学校选择哪种方案更合算?请说明理由.5.命题角度2[2022河南省实验三模]某车行销售的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元,今年由于改造升级,每辆车的售价比去年增加了200元,今年6月份与去年同期相比,销售数量相同,销售总额增加了25%.(1)求今年每辆A型车的售价是多少元.(2)该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金购进A型车和B型车共50辆,今年A,B两种型号自行车的进价和售价如下表:A型车B型车进价/(元/辆)800950售价/(元/辆)1200则应如何进货才能使这批车售完后获利最多?参考答案第一节 一次方程(组)与分式方程1.B 两边同乘以x-2,得1-3(x-2)=-4,故选B.2.D 去分母,得x2+2x-x2-x+2=3,解得x=1.检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0,故该分式方程无解.3.A 原来平均每亩产量为x万千克,则改良后平均每亩产量为1.5x万千克,原计划需要种植30x亩,改良后总产量增加6万千克,则需要种植361.5x亩.因改良后种植亩数减少了10亩,故可列方程为30x-361.5x=10.4.B 设笑脸气球的单价为x元,爱心气球的单价为y元,根据题意得3x+y=16①,x+3y=20②,(①+②)÷2,得2x+2y=18.故第三束气球的价格为18元.5.60 解方程组4x-y=8,x+2y=29,得x=5,y=12.∵x<y,∴x◆y=5×12=60.5\n6.5x+2y=10,2x+5y=8 根据“牛的单价×牛的数量+羊的单价×羊的数量=总价”,可得5x+2y=10,2x+5y=8.7.x+y=200,(1-15%)x+(1-10%)y=174 根据“5月份,甲、乙两个工厂用水量共200吨”可列方程为x+y=200;根据“6月份,甲工厂用水量比5月份减少了15%,乙工厂用水量比5月份减少了10%,两个工厂6月份用水量共174吨”可列方程为(1-15%)x+(1-10%)y=174.综上所述,可列方程组为x+y=200,(1-15%)x+(1-10%)y=174.8.去分母,得3(x-3)-2(2x+1)=6,去括号,得3x-9-4x-2=6,移项、合并同类项,得-x=17,系数化为1,得x=-17.9.(1)解法一中的解题过程错误.(2)由①-②,得-3x=3,解得x=-1,把x=-1代入①,得-1-3y=5,解得y=-2.故原方程组的解是x=-1,y=-2.第二节 一元二次方程1.C 当一元二次方程根的判别式小于零时,该方程没有实数根.对于A中的一元二次方程,Δ=4>0,对于B中的一元二次方程,Δ=20>0,对于C中的一元二次方程,Δ=-8<0,对于D中的一元二次方程,Δ=1>0,故C中的一元二次方程没有实数根.2.x1=3,x2=-3 ∵x2-9=0,∴x2=9,解得x1=3,x2=-3.3.12 ∵2n(n≠0)是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根,∴4n2-4mn+2n=0,∴4n-4m+2=0,∴m-n=12.4.13 原方程可化为(x-2)(x-4)=0,∴x-2=0或x-4=0,∴x1=2,x2=4.当x=2时,2+3<6,不符合三角形的三边关系,故舍去;当x=4时,符合三角形的三边关系,故三角形的周长是3+6+4=13.5.(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据题意得400(1-x)2=361,解得x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).答:每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×(1-5%)=342.95(万元).答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.6.易得2022年村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为30千米和15千米.设2022年每千米道路硬化的经费为y万元,则每千米道路拓宽的经费为2y万元,由题意,得30y+15×2y=780,解得y=13,故2022年每千米道路硬化的经费为13万元,每千米道路拓宽的经费为26万元.由题意得,从今年6月起至年底,政府投入经费为780(1+10a%)万元,每千米道路硬化、道路拓宽的经费分别为13(1+a%)万元、26(1+5a%)万元,道路硬化和道路拓宽的里程数分别为40(1+5a%)千米和10(1+8a%)千米,则13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%),令a%=t,原方程可化为520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t),整理,得10t2-t=0,解得t1=0(不合题意,舍去),t2=0.1,∴a%=0.1,即a=10.第三节 一次不等式与一次不等式组5\n1.C 解不等式1-2x<3,得x>-1;解不等式x+12≤2,得x≤3,所以原不等式组的解集是-1<x≤3,其中正整数解是1,2,3,有3个.2.D 解不等式6-3(x+1)<x-9,得x>3;解不等式x-m>-1,得x>m-1,因为原不等式组的解集是x>3,所以m-1≤3,即m≤4.3.C x-1>0,①3x-42≤x-1,②解不等式①,得x>1,解不等式②,得x≤2,故不等式组的解集为1<x≤2,故选C.4.(1)设水性笔的单价是m元,则文具袋的单价是5m元.由题意得,5m+3×5m=60,解得m=3,则5m=15,所以水性笔的单价是3元,文具袋的单价是15元.(2)①根据题意,得y1=10×15+3(x-10)=3x+120,y2=10×15+3×10+3×0.8(x-10)=2.4x+156.②当y1>y2时,可知3x+120>2.4x+156,解得x>60,所以当购买数量超过60支时,选择方案B更合算;当y1=y2时,可知3x+120=2.4x+156,解得x=60,所以当购买数量为60支时,选择方案A或方案B均可;当y1<y2时,可知3x+120<2.4x+156,解得x<60,所以当购买数量超过10支而不足60支时,选择方案A更合算.5.(1)设今年每辆A型车的售价为x元,则去年每辆A型车的售价为(x-200)元,根据题意,得16000x-200=16000(1+25%)x,解得x=1000.经检验,x=1000是原分式方程的解,且符合题意.答:今年每辆A型车的售价为1000元.(2)设购进A型车m辆,则购进B型车(50-m)辆,根据题意,得800m+950(50-m)≤43000,解得m≥30.设售完这批车后所获利润为w元,则w=(1000-800)m+(1200-950)(50-m)=-50m+12500,∵-50<0,∴w随m的增大而减小,∴当m=30时,w取得最大值.答:当购进A型车30辆、B型车20辆时,才能使这批车售完后获利最多.5
