第27讲 矩形与菱形1.(2022，河北)如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD＝6，点A表示的数为－1，则点B表示的数为5.第1题图【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6.∴点B表示的数为(－1)＋6＝5.2.(2022，河北)如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上表示的数分别为－4和1，则BC＝5.第2题图【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B在数轴上表示的数分别为－4和1，∴AB＝1－(－4)＝5.∴BC＝AB＝5.3.(2022，河北，导学号5892921)如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN的长为(B)第3题图A.3B.4C.5D.6【解析】在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC.∵ME⊥AD，NF⊥AB，∴∠AEM＝∠AFN＝90°.∴△AFN∽△AEM.∴＝，即＝.解得AN＝4.4.(2022，河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO，②∴AO⊥BD，即AC⊥BD.③∵四边形ABCD是菱形，④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(B)第4题图A.③→②→①→④B.③→④→①→②C.①→②→④→③D.①→④→③→②【解析】根据菱形的性质，先得到AB＝AD和BO＝DO，再根据等腰三角形的“三线合一”证明AC⊥BD.故证明步骤正确的顺序为③→④→①→②.11\n 矩形的性质与判定例1(2022，廊坊安次区模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD的长为(A)例1题图A.3B.4C.5D.6【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC.∴∠AFE＝∠FEC.∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC.∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF.∵E为BC的中点，BC＝8，∴BE＝4.在Rt△ABE中，AB＝3，BE＝4，由勾股定理，得AE＝5.∴AF＝AE＝5.∴DF＝AD－AF＝8－5＝3.针对训练1如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于点E，则EC的长为(D)训练1题图A.B.C.D.【解析】如答图，过点E作EF⊥BC于点F.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠BAD＝90°.∵AB＝，∴tan∠ADB＝＝.∴∠ADB＝30°.∴∠ABE＝60°.∴∠FBE＝30°.∴在Rt△ABE中，cos∠ABE＝＝＝.∴BE＝.∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，sin∠FBE＝＝＝.∴BF＝，EF＝.∴CF＝3－＝.∴在Rt△CFE中，CE＝＝.训练1答图 菱形的判定和性质11\n例2(2022，滨州惠民县模拟)如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(C)例2题图A.10B.12C.16D.18【解析】如答图，设AE和BF交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠BEA.∴AB＝BE.同理AB＝AF.∴AF＝BE.∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6.∴OA＝＝＝8.∴AE＝2OA＝16.例2答图针对训练2如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若AC＝8，AB＝10，求菱形ADCF的面积．训练2题图【思路分析】(1)先证得△AEF≌△DEB，再求得AF＝CD，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD＝CD，可证得结论．(2)根据条件可证得S菱形ADCF＝S△ABC，结合条件可求得答案．(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB(AAS)．∴AF＝DB.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD.∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC.11\n∴四边形ADCF是菱形．(2)解：设AF到CD的距离为h.∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD·h＝BC·h＝S△ABC＝AB·AC＝40.一、选择题1.(2022，十堰)菱形不具备的性质是(B)A.四条边都相等 B.对角线一定相等C.是轴对称图形 D.是中心对称图形【解析】菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线互相垂直不一定相等．2.(2022，上海)已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)A.∠A＝∠BB.∠A＝∠CC.AC＝BDD.AB⊥BC【解析】A.∠A＝∠B，∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°.可以判定这个平行四边形为矩形．B.∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形．C.AC＝BD，对角线相等，可推出▱ABCD是矩形．D.AB⊥BC，∴∠B＝90°.可以判定这个平行四边形为矩形．3.(2022，贵阳)如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F.如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为(A)第3题图A.24B.18C.12D.9【解析】∵E是AC的中点，EF∥BC，∴EF是△ABC的中位线．∴EF＝BC.∴BC＝6.∴菱形ABCD的周长是4×6＝24.4.(2022，哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，tan∠ABD＝，则线段AB的长为(C)第4题图A.B.2C.5D.10【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，OB＝OD.∴∠AOB＝90°.∵BD＝8，∴OB＝4.∵tan∠ABD＝＝，∴AO＝3.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝＝＝5.5.(2022，大连)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AB＝5，AC＝6，则BD的长是(A)11\n第5题图A.8B.7C.4D.3【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD.在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB＝＝＝4.∴BD＝2OB＝8.6.(2022，孝感)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，则菱形ABCD的周长为(A)第6题图A.52B.48C.40D.20【解析】∵在菱形ABCD中，BD＝24，AC＝10，∴OB＝12，OA＝5.易知∠AOB＝90°.在Rt△ABO中，AB＝＝13.∴菱形ABCD的周长为4AB＝52.7.(2022，保定模拟)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，AO的中点．若AB＝6，BC＝8，则△AEF的周长为(C)第7题图A.6B.8C.9D.10【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC.在Rt△BAD中，∵BD＝＝＝10，∴OD＝OA＝OB＝5.∵E，F分别是AD，AO的中点，∴EF＝OD＝，AE＝4，AF＝.∴△AEF的周长为9.8.(2022，遵义)如图，P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为(C)第8题图A.10B.12C.16D.18【解析】如答图，过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形．∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN.∴S△PBE＝S△DFP＝×2×8＝8.∴S阴影＝8＋8＝16.11\n第8题答图9.(2022，宿迁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为边CD的中点．若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是(A)第9题图A.B.2C.2D.4【解析】如答图，过点D作DH⊥AB于点H.∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AB＝BC＝CD＝AD.∵菱形ABCD的周长为16，∴AB＝AD＝4.∵∠BAD＝60°，∴DH＝AD·sin∠BAD＝4×＝2.∴S菱形ABCD＝4×2＝8.∴S△ACD＝×8＝4.∵E为边CD的中点，∴S△OCE＝S△OCD＝S△ACD＝×4＝.第9题答图10.(2022，枣庄)如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是(A)第10题图A.B.C.D.【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵E是边BC的中点，∴BE＝BC＝AD.∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF.∴＝＝.∴EF＝AF.∴EF＝AE.∵E是边BC的中点，∴由矩形的对称性，得AE＝DE.∴EF＝DE.设EF＝x，则DE＝3x.∴DF＝＝2x.∴tan∠BDE＝＝＝.二、填空题11.(2022，株洲)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长为2.5.11\n第11题图【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10，BO＝DO＝BD.∴OD＝BD＝5.∵P，Q分别是AO，AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线．∴PQ＝DO＝2.5.12.(2022，连云港，导学号5892921)如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，HE，EC，GA，GF.已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为2.第12题图【解析】如答图，连接BD.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，BD＝AC＝.∵G，F分别是CD，BC的中点，∴CG＝DG，CF＝FB，GF＝BD＝.∵AG⊥FG，∴∠AGF＝90°.∵∠DAG＋∠AGD＝90°，∠AGD＋∠CGF＝90°，∴∠DAG＝∠CGF.∴△ADG∽△GCF.∴＝.设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，则＝.∴b2＝2a2.∵a＞0，b＞0，∴b＝a.在Rt△GCF中，CF2＋CG2＝GF2，即a2＋b2＝.∴3a2＝.∴a＝.∴b＝1.∴AB＝2b＝2.第12题答图三、解答题13.(2022，张家界)在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的长．第13题图【思路分析】(1)利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得．(2)由∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，得∠DAF＝∠FDC＝30°.据此知AD＝2DF.由(1)知DF＝AB可得答案．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°.∴∠AEB＝∠DAF.∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°.∴∠DFA＝∠B.11\n∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB.∴DF＝AB.(2)解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠FDC＝30°.∴AD＝2DF.由(1)知DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.14.(2022，乌鲁木齐)如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB＝6，BC＝10，求EF的长．第14题图【思路分析】(1)根据平行四边形和菱形的判定证明即可．(2)根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．(1)证明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形．∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝CE＝BC.∴四边形AECD是菱形．(2)解：如答图，过点A作AH⊥BC于点H.∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝＝8.∵S△ABC＝BC·AH＝AB·AC，∴AH＝＝.∵E是BC的中点，BC＝10，∴CE＝5.由(1)知四边形AECD是菱形，∴CD＝CE＝5.∵S▱AECD＝CE·AH＝CD·EF，∴EF＝AH＝.第14题答图1.(2022，威海)矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH的长为(C)11\n第1题图A.1B.C.D.【解析】如答图，延长GH交AD于点P.∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2，GF＝CE＝1.∴AD∥GF.∴∠GFH＝∠PAH.∵H是AF的中点，∴AH＝FH.在△APH和△FGH中，∴△APH≌△FGH(ASA)．∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG.∴PD＝AD－AP＝1.∵CG＝2，CD＝1，∴DG＝1.∴GH＝PG＝＝.第1题答图2.(2022，达州，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(－6，0)，C(0，2)．将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为(－2，6)．第2题图【解析】如答图，连接OB1，过点B1作B1H⊥OA于点H.由题意，得OA＝6，AB＝OC＝2.∴tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝30°.∴∠ABO＝60°.由旋转的性质，可知∠B1OB＝∠BOA＝30°，OB1＝OB.∴∠B1OH＝60°.∴∠B1OH＝∠ABO.在△AOB和△HB1O中，∴△AOB≌△HB1O.∴B1H＝OA＝6，OH＝AB＝2.∴点B1的坐标为(－2，6)．第2题答图11\n3.(2022，泰安，导学号5892921)如图，在△ABC中，D是AB上的一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H.若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.(1)求证：△ECG≌△GHD；(2)小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论；(3)若∠B＝30°，判断四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．第3题图【思路分析】(1)依据条件得出AC∥FG，DE∥BC，进而得出∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE＝GD，∠CGE＝∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD.(2)过点G作GP⊥AB于点P.先判定Rt△CAG≌Rt△PAG，可得AC＝AP.由(1)可得EG＝DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△DPG，进而得EC＝DP，即可得出AD＝AP＋PD＝AC＋EC.(3)依据∠B＝30°，DE∥BC，可得∠ADE＝30°，进而得到AE＝AD，故AE＝AF＝FG.先判定四边形AEGF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．(1)证明：∵AF＝FG，∴∠FAG＝∠FGA.∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG.∴∠CAG＝∠FGA.∴AC∥FG.∵DE⊥AC，∴FG⊥DE.∵FG⊥BC，∴DE∥BC.∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED.∴∠C＝∠DHG＝90°.∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点．∴FG是线段ED的垂直平分线．∴GE＝GD.∴∠GDE＝∠GED.∴∠CGE＝∠GDE.∴△ECG≌△GHD.(2)证明：如答图，过点G作GP⊥AB于点P.∵AG平分∠CAB，∠C＝90°，∴GC＝GP.∵AG＝AG，∴Rt△CAG≌Rt△PAG.∴AC＝AP.∵EG＝DG，GC＝GP，∴Rt△ECG≌Rt△DPG.∴EC＝PD.∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.(3)解：四边形AEGF是菱形．理由：∵∠B＝30°，DE∥BC，11\n∴∠ADE＝∠B＝30°.∴AE＝AD.∴AE＝AF＝FG.∵AE∥FG，∴四边形AEGF是平行四边形．∵AE＝AF，∴四边形AEGF是菱形．第3题答图11
