第26讲 多边形与平行四边形1.(2022，河北)如图，在▱ABCD中，∠A＝70°.将平行四边形折叠，使点D，C分别落在点F，E处(点F，E都在AB所在的直线上)，折痕为MN，则∠AMF的度数为(B)第1题图A.70°B.40°C.30°D.20°【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.根据折叠的性质，可得MN∥AE，∠FMN＝∠DMN.∴AB∥CD∥MN.∵∠A＝70°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝70°.∴∠AMF＝180°－∠DMN－∠FMN＝180°－70°－70°＝40°.2.(2022，河北)如图①，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．如图②，用n个全等的正六边形按这种方式拼接．若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为6.第2题图【解析】因为正六边形的每个内角都是120°，所以拼成的正多边形的每个内角的度数为360°－120°－120°＝120°.列方程，得＝120°.解得n＝6.3.(2022，河北，导学号5892921)如图，平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝24°.第3题图【解析】正三角形的每个内角的度数是180°÷3＝60°，正方形的每个内角的度数是360°÷4＝90°，正五边形的每个内角的度数是(5－2)×180°÷5＝108°，正六边形的每个内角的度数是(6－2)×180°÷6＝120°，则∠3＋∠1－∠2＝(90°－60°)＋(120°－108°)－(108°－90°)＝24°.12\n4.(2022，河北)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的．她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．第4题图(1)在方框中填空，以补全已知和求证；(2)按嘉淇的想法写出证明；(3)用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形的对边相等．【思路分析】连接BD，证明△ABD≌△CDB，利用全等三角形的性质来证明四边形ABCD为平行四边形．主要考查了平行四边形的判定定理和逆命题的表述．(1)解：CD 平行(2)证明：如答图，连接BD.∵AB＝CD，AD＝BC，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB.∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴AB∥CD，AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形．(3)解：平行四边形的对边相等第4题答图 借助多边形边与角的性质解决问题例1(2022，杭州临安区模拟)用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝36°.例1题图【解析】∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36°.12\n针对训练1(2022，唐山二模)如图所示的是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形．若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝225°，ED∥AB，则∠1的度数为(B)训练1题图A.55°B.45°C.35°D.25°【解析】如答图．由多边形的外角和等于360°，可知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝225°，∴∠5＝135°.∴∠AED＝45°.∵ED∥AB，∴∠1＝∠AED＝45°.训练1答图针对训练2(2022，济宁)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是(C)训练2题图A.50°B.55°C.60°D.65°【解析】∵在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，∴∠EDC＋∠BCD＝240°.∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，∴∠PDC＋∠PCD＝120°.∴∠P＝180°－(∠PDC＋∠PCD)＝180°－120°＝60°. 借助平行四边形的性质求边和角例2(2022，绵阳游仙区模拟)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝2，则四边形EFCD的周长为(B)例2题图A.14B.13C.12D.10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC.∴CD＋AD＝9，∠OAE＝∠OCF.在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO(ASA)．∴OE＝OF＝2，AE＝CF.∴四边形EFCD的周长为ED＋CD＋CF＋EF＝(DE＋CF)＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝9＋4＝13.针对训练3(2022，长春九台区模拟)如图，在▱ABCD中，∠C＝130°，BE平分∠ABC12\n，则∠AEB等于(D)训练3题图A.55°B.45°C.35°D.25°【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC.∴∠ABC＋∠C＝180°，∠AEB＝∠CBE.∵∠C＝130°，∴∠ABC＝180°－∠C＝50°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝25°.∴∠AEB＝∠CBE＝25°. 平行四边形的判定和性质例3(2022，济南模拟)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD，等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.求证：(1)AC＝EF；(2)四边形ADFE是平行四边形；(3)AC⊥DF.例3题图【思路分析】(1)首先在Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC.又△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AB＝2AF，然后即可证明Rt△AFE≌Rt△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC＝EF.(2)根据(1)知EF＝AC，而△ACD是等边三角形，所以EF＝AC＝AD.易证AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．(3)先求∠EAC＝90°，由▱ADFE得AE∥DF，可以得AC⊥DF.证明：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC.∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB＝2AF，AB＝AE.∴AF＝BC.在Rt△BCA和Rt△AFE中，∴Rt△BCA≌Rt△AFE(HL)．∴AC＝EF.(2)∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD.∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°.∵EF⊥AB，∴EF∥AD.∵AC＝EF，∴EF＝AD.∴四边形ADFE是平行四边形．(3)∵四边形ADFE是平行四边形，12\n∴AE∥FD.∵∠EAC＝∠EAF＋∠BAC＝60°＋30°＝90°，∴AE⊥AC.∴AC⊥DF.针对训练4(2022，东营)如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，下面四个条件中可选择的是(D)训练4题图A.AD＝BCB.CD＝BFC.∠A＝∠CD.∠F＝∠CDF【解析】正确选项是D.理由：∵∠F＝∠CDF，∠BEF＝∠CED，BE＝CE，∴△BFE≌△CDE，CD∥AF.∴BF＝CD.∵BF＝AB，∴CD＝AB.∴四边形ABCD是平行四边形.针对训练5(2022，海南)如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为(A)训练5题图A.15B.18C.21D.24【解析】∵▱ABCD的周长为36，∴BC＋CD＝18.∵OD＝OB，DE＝EC，∴OE＋DE＝(BC＋CD)＝9.∵BD＝12，∴OD＝BD＝6.∴△DOE的周长为9＋6＝15.一、选择题1.(2022，黔西南州)如图，在▱ABCD中，已知AC＝4cm.若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为(D)第1题图A.26cmB.24cmC.20cmD.18cm【解析】∵AC＝4cm，△ADC的周长为13cm，∴AD＋DC＝13－4＝9(cm)．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC.∴▱ABCD的周长为2(AD＋CD)＝18cm.2.(2022，铜仁)如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形的边数是(A)A.8B.9C.10D.11【解析】根据题意，得180°·(n－2)＝3×360°.解得n＝8.12\n3.(2022，贵阳模拟)一个多边形的边数由原来的3增加到n时(n＞3，且n为正整数)，它的外角和(D)A.增加(n－2)×180°B.减小(n－2)×180°C.增加(n－1)×180°D.没有改变【解析】多边形的外角和等于360°，与边数无关．4.(2022，宜宾)在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【解析】如答图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠BAD＋∠ADC＝180°.∵∠EAD＝∠BAD，∠ADE＝∠ADC，∴∠EAD＋∠ADE＝(∠BAD＋∠ADC)＝90°.∴∠E＝90°.∴△ADE是直角三角形．第4题答图5.(2022，邯郸一模)已知▱ABCD，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论不一定成立的是(C)第5题图A.∠DAE＝∠BAEB.∠DEA＝∠DABC.DE＝BED.BC＝DE【解析】A.由作法可知AE平分∠DAB，所以∠DAE＝∠BAE，本选项不符合题意．B.∵CD∥AB，∴∠DEA＝∠BAE＝∠DAB，本选项不符合题意．C.无法证明DE＝BE，本选项符合题意．D.易证∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE.∵AD＝BC，∴BC＝DE，本选项不符合题意．6.(2022，宁波)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为(B)第6题图A.50°B.40°C.30°D.20°【解析】∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，∴∠BCA＝180°－60°－80°＝40°.∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线．∴EO∥BC.∴∠1＝∠ACB＝40°.7.(2022，保定一模)如图，在▱ABCD中，AB＝8，BC＝5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD，AB于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为(A)12\n第7题图A.3B.5C.2D.6.5【解析】根据作图的方法，得AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB＝8，AD＝BC＝5.∴∠DEA＝∠EAB.∴∠DAE＝∠DEA.∴DE＝AD＝5.∴CE＝DC－DE＝8－5＝3.8.(2022，安徽)在▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是(B)A.BE＝DFB.AE＝CFC.AF∥CED.∠BAE＝∠DCF【解析】如答图，连接AC与BD相交于点O.在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需得到OE＝OF即可．A.若BE＝DF，则OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意．B.若AE＝CF，则无法判定OE＝OF，故本选项符合题意．C.AF∥CE能够利用“AAS”证明△AOF≌△COE，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意．D.∠BAE＝∠DCF能够利用“ASA”证明△ABE≌△CDF，从而得到BE＝DF，然后同选项A，故本选项不符合题意．第8题答图9.(2022，承德模拟)如图，在正五边形ABCDE中，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于(B)第9题图A.30°B.36°C.45°D.32°【解析】在正五边形ABCDE中，∠C＝×(5－2)×180°＝108°.∵正五边形ABCDE的边BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB.∴∠CDB＝(180°－108°)＝36°.∵AF∥CD，∴∠DFA＝∠CDB＝36°.10.(2022，枣庄薛城区模拟)如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(C)12\n第10题图A.3B.4C.6D.8【解析】设△ABC中BC边上的高为h.∵四边形DCFE是平行四边形，∴DE＝CF，DE∥CF.∵BC＝4CF，∴DE＝BC.∵S△ABC＝BC·h＝24.∴S阴影＝S△ADE＋S△DEB＝DE·h＝×BC·h＝×BC·h＝6.二、填空题11.(2022，常州)如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝40°.第11题图【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝70°.∵DC＝DB，∴∠C＝∠DBC＝70°.∴∠CDB＝180°－70°－70°＝40°.12.(2022，临沂)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝4.第12题图【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC.∵AC⊥BC，∴AC＝＝8.∴OC＝4.∴OB＝＝2.∴BD＝2OB＝4.13.(2022，赤峰)如图，P是▱ABCD的边AD上一点，E，F分别是PB，PC的中点．若▱ABCD的面积为16cm2，则△PEF的面积(阴影部分)是2cm2.第13题图【解析】∵▱ABCD的面积为16cm2，∴S△PBC＝S▱ABCD＝8cm2.∵E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC，且EF＝BC.∴△PEF∽△PBC.∴＝2，即＝.∴S△PEF＝2cm2.三、解答题14.(2022，大庆)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过点E作EF∥DC交BC的延长线于点F.12\n(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；(2)若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度． 第14题图【思路分析】(1)由三角形中位线定理推知ED∥FC，然后结合已知条件EF∥DC，利用两组对边平行得到四边形CDEF为平行四边形．(2)根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB＝2DC，再结合由三角形中位线定理得到的2DE＝BC，即可得出四边形CDEF的周长为AB＋BC，故BC＝25－AB，然后根据勾股定理即可求得AB的长．(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴ED∥FC.∵EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．(2)解：∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC＝EF，DE＝CF.∵D，E分别是AB，AC的中点，∴BC＝2DE，DC是Rt△ABC斜边AB上的中线．∴AB＝2DC.∴四边形CDEF的周长为AB＋BC.∵四边形CDEF的周长为25，∴BC＝25－AB.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝(25－AB)2＋52.解得AB＝13.∴AB的长为13cm.15.(2022，青岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.(1)求证：AB＝AF；(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．第15题图【思路分析】(1)只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题．(2)四边形ACDF是矩形．先得四边形ACDF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠AFC＝∠DCG.∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，∴△AGF≌△DGC.∴AF＝DC.12\n∴AB＝AF.(2)解：四边形ACDF是矩形．证明：∵AF＝CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝120°.∴∠FAG＝60°.∵AG＝AB＝AF，∴△AFG是等边三角形．∴AG＝GF.∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG.∵AG＝GD，∴AD＝CF.∴四边形ACDF是矩形．16.(2022，黄冈)如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD为边作等腰三角形BCF，等腰三角形CDE，使BF＝BC，DE＝CD，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.(1)求证：△ABF≌△EDA；(2)延长AB与CF交于点G.若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.第16题图【思路分析】(1)只要证明AB＝DE，FB＝AD，∠ABF＝∠ADE即可解决问题．(2)只要证明FB⊥AD即可解决问题．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC.∵BC＝BF，CD＝DE，∴BF＝AD，AB＝DE.∵∠ADE＋∠ADC＋∠CDE＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠CDE＝∠CBF，∴∠ABF＝∠ADE.∴△ABF≌△EDA.(2)如答图，延长FB交AD于点H.∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°.∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD＝∠AFB.∵∠EAD＋∠FAH＝90°，∴∠FAH＋∠AFB＝90°.∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD.∵AD∥BC，∴FB⊥BC.12\n第16题答图1.(2022，眉山，导学号5892921)如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF.下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF.其中正确的结论共有(D)第1题图A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】如答图，延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH.∵CD＝2AD，DF＝FC，∴CF＝AD＝CB.∴∠CFB＝∠CBF.∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠FBH.∴∠CBF＝∠FBH.∴∠ABC＝2∠ABF，①正确．∵DE∥CG，∴∠D＝∠FCG.∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，∴△DFE≌△CFG.∴FE＝FG.∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EBG＝∠AEB＝90°.∴BF＝EF＝FG，②正确．∵S△DFE＝S△CFG，∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，③正确．∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，∴CF＝BH.∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形．∵CF＝BC，∴四边形BCFH是菱形．∴∠BFC＝∠BFH.∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE.∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF.∴∠EFC＝3∠DEF，④正确．第1题答图2.(2022，株洲，导学号5892921)如图，在▱ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝3，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝6.第2题图【解析】∵BD＝CD，AB＝CD，∴BD＝BA.∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴DN＝AM＝3.∵∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，∠ABD＝∠P＋∠BAP，∴∠P＝∠PAM.∴△APM是等腰直角三角形，∴AP＝AM＝6.3.(2022，重庆A，导学号5892921)如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G.12\n(1)若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；(2)若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG.第3题图【思路分析】(1)利用勾股定理即可得出BH的长，进而运用公式得出△ABE的面积．(2)过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，判定△AME≌△BNG，可得ME＝NG，进而得出BE＝GC，再判定△AFO≌△CEO，可得AF＝CE，即可得到DF＝BE＝CG.(1)解：∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4.在Rt△ABH中，BH＝＝，∴S△ABE＝AE·BH＝×4×＝2.(2)证明：如答图，过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°.∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°.∵AB＝AE，∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM.∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK.∵∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG.设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°＋α，∠BGA＝∠GCN＋∠GBC＝45°＋α.∴∠BAG＝∠BGA.∴AB＝BG.∴AE＝BG.∴△AME≌△BNG(AAS)．∴ME＝NG.∵在等腰直角三角形CNG中，NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE.∴BE＝GC.∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO.∴△AFO≌△CEO(AAS)．∴AF＝CE.∴AD－AF＝BC－EC，即DF＝BE.∴DF＝BE＝CG.第3题答图12
